4.1 第3课时 余弦（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

4.1 正弦和余弦 第4章 锐角三角函数 第3课时 余 弦 优翼数学教学课件（XJ）九上 问题引入 A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 导入新课 余弦 合作探究 如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中 ∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？ 为什么？ A B C D E F 新课讲授 我们来试着证明前面的问题： ∵∠A =∠D，∠C =∠F = 90°， ∴ ∠B =∠E． 从而 sin B = sin E， 因此 A B C D E F 在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如右图所示，在直角三角形中，我们把锐角 α 的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦，记作 cos α，即 归纳： A B C 斜边 邻边 角 α 的邻边 斜边 cos α = α 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有 cos α = sin (90°－α)． 从而有 sin α = cos (90°－α)． 2. 求 cos 30°，cos 45°，cos 60° 的值． 解：cos 30° = sin (90°－30°) = sin 60° = ； cos 60° = sin (90°－60°) = sin 30° = cos 45° = sin (90°－45°) = sin 45°= 例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，如图，已知 AC = 3，AB = 6，求 sin A 和 cos B. ┌ B C A 3 6 想一想:我们发现sinA=cosB，其中有没有什么内有的关系? 解：在 Rt△ABC 中，∵AB = 6，AC = 3， 求：AB，sin B. 10 ┐ A B C 变式：如图：在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10， 思考：我们再次发现 sin A = cos B，其中的内在联系你可否掌握? 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有 cos α = sin (90°－α) 从而有 sin α = cos (90°－α) 如图：在 Rt △ABC 中，∠C＝90°， 归纳总结 sin A = cos B 例2 计算：cos 30°－ cos 60° + cos245° 解: 原式 典例精析 解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解． 过点 P 作 PH⊥x 轴，垂足为点 H，如图.在 Rt△OPH 中，∵ PH＝b，OH＝a， 例3 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 cos α 等于( 　) C 也可以过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M，注意点 P (a，b)到 x 轴的距离是 | b |，到 y 轴的距离是 | a |，若点 P 不在第一象限，则要注意字母的符号． 方法总结 如图：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， 知识拓展 1.sin A、cos A是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sin A、 cos A 是一个比值（数值）. 3.sin A、 cos A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 用计算器求锐角余弦值或根据余弦值求锐角 对于一般锐角 α（30°，45°，60° 除外）的余弦值，我们可用计算器来求. 例如求 50° 角的余弦值，可在计算器上依次 按键 ，显示结果为 0.6427… 17 如果已知余弦值，我们也可以利用计算器 求出它的对应锐角. 例如，已知 cos α = 0.8661，依次按键 ，显示结果为 29.9914…，表示角 α 约等于30°. 1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m， ∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( ) A. B. C. D. A A B C 当堂练习 2. 随着锐角 α 的增大，cos α 的值 ( ) A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定 B 当 0°＜α＜90° 时，cos α 的值随着角度的增大 (或减小) 而减小 (或增大) 3.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100 倍，sin A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 4.已知∠A，∠B 为锐角 (1)若∠A = ∠B，则 sin A sin B； (2)若 sin A = sin B，则∠A ∠B. A B C ┌ C = = 5. 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝ (1)求点 B 的坐标； (2)求 cos∠BAO 的值． A B H 解：(1)如图所示，作 BH⊥OA， 垂足为 H．在 Rt△OHB 中， ∵BO＝5，sin∠BOA＝ ， ∴BH＝3，OH＝4， ∴点 B 的坐标为(4，3)． 5.如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝ (2)求 cos∠BAO 的值． (2)∵ OA＝10，OH＝4， ∴ AH＝6． ∵在 Rt△AHB 中，BH＝3， A B H 余弦 余弦的概念：在直角三角形中，锐角α 的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦 余弦的性质：α 确定的情况下，cos α为定值，与三角形的大小无关 用计算器求锐角余弦值或根据余弦值求锐角 课堂小结 $