3.4.1 第4课时 相似三角形的判定定理3（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“三边成比例的两个三角形相似”判定定理，通过复习相似三角形定义、已学判定方法及类比全等三角形SSS，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到定理探究。 其特色在于以动手画图测量的合作探究开篇，结合严谨逻辑证明推导定理，例题涵盖直角三角形、含根号边长、网格图形及实际公路平行问题，培养学生几何直观与推理意识。课堂小结明确判定方法与运用要点，助力学生提升数学思维，教师教学时易操作且能有效落实核心素养。

3.4 相似三角形的判定与性质 第3章 图形的相似 3.4.1 相似三角形的判定 第4课时 相似三角形的判定定理3 优翼数学教学课件（XJ）九上 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？ 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ A B C D E 复习引入 3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法， 我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？ 导入新课 三边成比例的两个三角形相似 合作探究 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两 个三角形是否相似？ A B C C′ B′ A′ 新课讲授 A B C C′ B′ A′ 通过测量不难发现 ∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论. ∴ DE = B′C′，EA = C′A′. ∴△ADE ≌ △A′B′C′. ∴△A′B′C′ ∽ △ABC. ∴ ， . 又 ，AD = A′B′， ∴ ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E. 证明：在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′， C′ B′ A′ B C A D E 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理 3： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 归纳总结 例1 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－ 4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′2 = (2B′C′)2. ∴ BC = 2B′C′， ∴ △A′B′C′∽△ABC. 例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 (1) 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △DEF 中， DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF. A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 ∵ ， ， ， ∴ . ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. ∵ ， ， ∴ . (2) 解： 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 归纳总结 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似. (3) AB=12， BC=15， AC＝24， DE＝16，EF＝20， DF＝30. (2) AB＝4， BC＝8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8； (1) AB＝3， BC＝4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9； 是 否 否 练一练 例3 如图，方格网的小方格是边长为 1 的正方形，△ABC与 △A′B′C′ 的顶点都在格点上，△ABC 与 △A′B′C′ 相似吗? 为什么? C B A A′ B′ C′ 解：△ABC 与 △A′B′C′ 的顶点都在格点上，根据勾股定理，得 ∴△ABC 与 △A′B′C′ 相似. 13 例4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE 的度数. A B C D E ∴ △ABC ∽△ADE. 解：∵ ∴∠BAC =∠DAE，∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC. 即 ∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD = 20°， ∴∠CAE = 20°. 解：在 △ABC 和 △ADE 中， ∵ AB∶AD = BC∶DE = AC∶AE， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC =∠DAE，∠B =∠D，∠C =∠E. ∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD . ∴∠BAD =∠CAE . 故图中相等的角有∠BAC =∠DAE， ∠B =∠D，∠C =∠E，∠BAD =∠CAE. 如图，已知 AB∶AD = BC∶DE = AC∶AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由. 练一练 A B C D E 1. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是 ( ) C A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ ① ② ③ ④ 当堂练习 2. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD，下列结论正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A C B P D C ∵ BC∶AB = AB∶BD = AC∶AD，∴△ABC∽△DBA，故选 C. 解析：设 AP = PB = BC = CD = 1，∵∠APD=90°， ∴ AB = ，AC = ，AD = . 3. 根据下列条件，判断 △ABC 与 △A′B′C′ 是否相似： AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm， A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 21 cm. 答案：不相似. 4. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， ∴ ∴ 5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解：公路 AB 与 CD 平行. 理由如下： ∴ ∴ △ABD∽△BDC. ∴∠ABD =∠BDC. ∴ AB∥DC. 20 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理 3 的运用 课堂小结 $