3.4.1 第3课时 相似三角形的判定定理2（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

3.4 相似三角形的判定与性质 第3章 图形的相似 3.4.1 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定定理2 优翼数学教学课件（XJ）九上 问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗? 3 3 5 5 不相似 观察与思考 问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？ 3 3 5 5 相似 导入新课 利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长， 它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 两个三角形相似 改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？ 新课讲授 3 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ 4 ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC. B A C D E B' A' C' ∵ A′D = AB， ∴ 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC∽△A′B′C′ . 归纳： 对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB = A′C′ : AC. ∠B = ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等. A B C 思考： A′ B′ B″ C′ 结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 典例精析 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm． 解：∵ ∴ 又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC∽△A′B′C′. 1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. A C B F E D 证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm， DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm， 又 ∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC. 练一练 ∴ 2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形， ∴ AD = AE，AB = AC， ∴ ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC∽△ADE. A B C D E 又 ∵∠DAB = ∠CAE， 解：∵ AE = 1.5，AC = 2， 例2 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的点， AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长. A C B E D ∴ 又∵∠EAD =∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. 12 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB = 90°. ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB = 90°． A B C D ∵ 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. ∴△ADC ∽△CDB. ∴∠ACD = ∠B. 1. 判断 (1) 两个等边三角形相似 ( ) (2) 两个直角三角形相似 ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 ( ) × √ √ × 当堂练习 2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA 的条件是 ( ) A. AC : BC = AD : BD B. AC : BC = AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D A B C D 15 3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) . 54 30 36 45 E A F C B 1 2 相似 A B C D P P 4. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度 为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 4 或 9 解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ， ∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ADP 和 △ABC 相似． 5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长． A B C D 解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ， ∴ 又∵∠B =∠ACD， ∴ △ABC ∽ △DCA. ∴ . ∴ 6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB·AD = AE·AC，求证：△ABC ∽△AED. A B C D E 证明：∵ AB·AD = AE·AC， ∴ ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC， ∴ △ABC ∽△AED. 又∵∠DAB =∠CAE， 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 相似三角形的判定定理 2 的运用 课堂小结 $