3.4.1 第1课时 利用平行判定三角形相似（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“利用平行判定三角形相似”，通过“回顾与思考”复习相似多边形特征及相似比，衔接相似三角形定义、性质，逐步探究“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”的判定定理，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，通过中点证相似（例3）、光线射入实际问题（例5）等典例，引导学生用数学眼光抽象图形关系。方法总结强调对应关系及书写规范，培养推理思维，分层练习（基础填空到图形探究）助力学生提升应用能力，教师可依托清晰结构高效开展判定定理教学。

3.4 相似三角形的判定与性质 第3章 图形的相似 3.4.1 相似三角形的判定 第1课时 利用平行判定三角形相似 优翼数学教学课件（XJ）九上 问题1 相似多边形的主要特征是什么？ 问题2 相似比的定义是什么？ 回顾与思考 导入新课 我们就说 △ABC 与 △A′B′C′______，记作__________________，△ABC 与 △A′B′C′ 相似比是 k，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是____. 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，如果∠A = ∠A′， ∠B = ∠B′，∠C = ∠C′， △ABC∽△A′B′C′ 相似 相似三角形的性质及有关概念 新课讲授 反之如果 △ABC∽△A′B′C′，则有∠A =_____，∠B =_____，∠C =____，且 ∠A′ ∠B′ ∠C′ 相似比为 1 时，相似的 两个图形有什么关系？ 当相似比等于 1 时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似. 典例精析 例1 △ABC 与 △DEF 的各角度数和边长如图所示，则 △ABC 与 △DEF 能否相似？说明理由． 解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°. 因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°. 所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E. ∴ △ABC∽△DFE. 判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． 方法总结 例2 如图，已知 △ABC∽△ADE，AE＝50 cm，EC＝30 cm，BC＝58 cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求： (1) ∠AED 和 ∠ADE 的度数；(2) DE 的长． 解：(1)∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝40°. 在 △ADE 中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°. (2) ∵△ABC∽△ADE. ∴ DE＝36.25 cm. 当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段． 方法总结 如图，DE∥BC，△ADE 与 △ABC 有什么关系?说明理由. A B C D 解：相似. 在 △ADE 与 △ABC 中，∠A = ∠A. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE = ∠B， ∠AED = ∠C， 过 E 作 EF∥AB 交 BC 于 F， F E 平行线与相似三角形 探究归纳 ∵四边形 DBFE 是平行四边形， ∴DE = BF. ∴△ADE∽△ABC. A B C D F E 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似. “A”型 “X”型 （图3） D E O B C A B C D E （图1） 归纳 “A”型 A D E B C （图2） 例3 如图，在△ABC 中，已知点 D、E 分别是 AB，AC边的中点. 求证：△ADE∽△ABC． 证明：∵点 D、E 分别是 AB，AC 边的中点， ∴ DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC A E C B D 例4 如图，点 D 作为△ABC 的边 AB 的中点，过点 D 作DE∥BC，交边 AC 于点 E.延长 DE 至点 F，使DE = EF.求证：△CFE∽△ABC． 解：∵DE∥BC，点 D 为△ABC 的边 AB 的中点， ∴AE = CE. 又 DE = EF，∠AED = ∠CEF， ∴△ADE≌△CFE(SAS). ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴△CFE∽△ABC. A E D B C F 例5 已知如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5 m 处，已知窗户 AB 高为 2 m，B 点距地面高为 1.2 m，求下檐光线的落地点 N 与窗户的距离 NC. 解：∵AM∥BN， ∴△NBC∽△MAC， A B C D E 相似具有传递性 △ADE∽△ABC M N 如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？ △AMN∽△ADE △AMN∽△ABC 共有三对相似三角形 已知 DE∥BC 交流讨论 如图，在 △ABC 中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果 AD = 1，DB = 3，那么 DG∶BC =_____. A B C D E F G H I △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC 1∶4 练一练 18 2.若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为 AB = 3 cm，A′B′ = 4 cm，那么 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是 . 3.若 △ABC 的三条边长分别为 3 cm、5 cm、6 cm，与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为 12 cm，那么 △A′B′C′ 的最大边长是________. 1.如果两个三角形的相似比为 1，那么这两个三角形_____. 全等 4︰3 24 cm 当堂练习 4.已知 △ABC 的三条边长 3 cm，4 cm，5 cm，△ABC∽△A1B1C1，那么 △A1B1C1 的形状是__________，又知 △A1B1C1 的最大边长为 25 cm，那么 △A1B1C1 的面积为________. 直角三角形 150 cm2 5.若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，∠A = 55°，∠B = 100°，那么 ∠C′ 的度数是（ ） A. 55° B. 100° C. 25° D. 不能确定 C 6.把 △ABC 的各边分别扩大为原来的 3 倍，得到 △A′B′C′，下列结论不能成立的是（ ） A. △ABC∽△A′B′C′ . B. △ABC与 △A′B′C′ 的各对应角相等. C. △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 . D. △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 . C 2. 当相似比等于 1 时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似； 3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似. 1. 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于对应边的比； 课堂小结 $