3.1.2 成比例线段（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“比例线段”与“黄金分割”核心知识点，以“地图中黄鹤楼与长江距离差异”问题导入，通过线段的比、成比例线段概念构建基础，再延伸至黄金分割的定义、计算及应用，形成层层递进的学习支架。 其亮点在于注重概念形成过程，通过“格点四边形边长计算”引导学生自主发现比例关系，培养抽象能力与几何直观。结合五角星、蝴蝶、金字塔等实例，展现数学与现实的联系，体现模型意识。例题练习层次分明，从基础判断到实际应用，助力学生发展运算能力，教师可借助丰富素材实施启发式教学，提升教学效率。

3.1 比例线段 第3章 图形的相似 3.1.2 成比例线段 优翼数学教学课件（XJ）九上 两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？ 导入新课 线段的比和成比例线段 如果选用同一个长度单位量得两条先线段 AB，CD 的长度分别是 m， n，那么它们长度的比就是这两条线段的比，即 A B C D m n 如果 的比值为 k，那么 = k，或 AB = k · CD，两条线段的比实际上就是两个数的比. AB∶CD = m∶n 或 新课讲授 4 思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？ 有关 ？ 无关 ？ 求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一 在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同. 注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数. 练一练 1.若线段 AB＝6 cm，CD＝4 cm，则 . . 2.若线段 AB＝8 cm，CD＝2 dm，则 4.五边形 ABCDE 与五边形 A'B'C'D'E' 形状相同，AB＝5 cm，A'B'＝3 cm，AB∶A'B'＝ . A B C D E A' B' C' D' E' 5∶3 3.已知线段 AB＝8 cm，A'B'＝2 cm，AB∶A'B' 的比为　　　 ，AB∶A'B' 的比值为 ，AB＝　　A'B'. 4∶1 4 4 练一练 做一做：设小方格的边长为 1，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的顶点都在格点上，那么 AB，AD，EF，EH 的长度分别是多少？ A B C D G H E F 计算　　 　　　 的值，你发现了什么？ A B C D G H E F 在四条线段中，如果如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段. 归纳总结 例如已知四条线段 a, b, c, d ，若 则 a, b, c, d 是比例线段. 类似的，如果 那么称线段 AB，BC，AC，与线段 A′B′，B′C′，A′C′，对应成比例. 例1 判断下列线段 a、b、c、d 是否是成比例线段：　 （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； 解：（1）∵　 ∴ 线段 a、b、c、d 不是成比例线段． ， ， ∴　 . 典例精析 （2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ ． （2）∵　 ∴　 ∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段． 注意： 1.若 a∶b = k，说明 a 是 b 的 k 倍； 2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3.两条线段的比值是一个没有单位的正数； 4.除了 a = b 外，a∶b ≠ b∶a， 互为倒数. 1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？ 成比例线段 不成比例线段 2.下列各组线段中成比例线段的是　　（　　） C 练一练 解：根据题意可知，AB = a m，AE = a m，AD = 1 m . 例2 一块矩形绸布的长 AB = a m，宽 AD = 1 m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么 a 的值应当是多少？ D A F E C B 即 ，开平方，得 由 ，得 答：a 的值应当是 m. 14 黄金分割的概念 一个五角星如下图所示. 问题：度量 C 到点 A、B 的距离， 与 相等吗？ A C B A B C 15 A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ， 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割. 点 C叫做线段 AB 的黄金分割点，较长线段AC 与原线段 AB 的比称为黄金分割比. 概念学习 16 1. 计算黄金比. 解：由 ，得 AC2 = AB · BC. 设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x. ∴ x2 = 1 ×(1 - x)， 即 x2 + x – 1 = 0. 解方程，得 x1= (不合题意，舍去)，x2= 黄金比 做一做 2.如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图： 1.经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB. 2.连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB. 3.在 AB 上截取 AC = AE. 思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗? A B D E C 18 ∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点. 令 AB = 1 ，则 巴台农神庙 （Parthenom Temple） F C A E B D 想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么? 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金分割比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金分割比的矩形也称为黄金矩形. A B C D E F 例1 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得 ，解得 x = 0.96. 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y≈0.075，而 0.075 m = 7.5 cm. 故她应该穿约为 7.5 cm 高的高跟鞋看起来会更美. 1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( ) (A) 12.36 cm (B) 13.6 cm (C) 32.36 cm (D) 7.64 cm A 练一练 【解析】选A. 0.618×20 = 12.36(cm). 2.如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB =10 cm，则 AC 的长约为_____cm.（结果精确到 0.1 cm） 【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意知 由图可知，AC＞BA，∴ 即 AC2 = (10 - AC)×10 . 解得 AC≈6.2 cm. 6.2 【解析】由黄金分割定义可知，AC = BD = ×AB = (40 - 40) cm，AD = AB - BD = (120 - 40 ) cm， 所以 DC = AC - AD = (80 - 160) cm. 3.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC =______cm，DC =_______cm. A B C D 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬 30°左右.特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上.这不免让 人联想起许多与北纬 30° 有关 的地方.奇石异峰，名川秀水的 黄山，庐山，九寨沟等等.衔远 山，吞长江的中国三大淡水湖 也恰好在这黄金分割的纬度上. 大自然与黄金分割 图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比，普通树叶的宽与长之比也接近 0.618. 人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病.人体最感舒适的温度是 23℃ (体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23 = 37×0.618).这说明医学与 0.618 有千丝万缕联系，尚待开拓研究.人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似 0.618. 在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美． B C A 设计与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618. 东方明珠塔，塔高 468 米.设计师在 263 米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观. 33 人的俊美，体现在头部及躯干是否符合黄金分割. 美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例 0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美． 黄金分割的魅力 Apple logo 苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系.也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现. 1.一把矩形米尺，长 1 m，宽 3 cm，则这把米尺的长和宽的比为（ ） A. 100∶3 B. 1∶3 C. 10∶3 D. 1000∶3 2.甲、乙两地相距 35 km，图上距离为 7 cm，则这张图的比例尺为（ ） A. 5∶1 B. 1∶5 C. 1∶500000 D. 500000∶1 A C 当堂练习 36 3.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1 = S2 D．S1≥S2 P A B C 5.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高 3 米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？ 4.点 C 是线段 AB 的黄金分割点，如果 AB = 4，求线段 AC 的长度． AC = 4×0.618 = 2.472 或者 AC = 4×(1 - 0.618) = 1.518. 离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m 解：根据题意可知， ， AB = 15， AC = 10，BD = 6， 则 AD = AB - BD = 15 - 6 = 9， 6.已知 ，AB = 15，AC = 10，BD = 6．求 AE． A B C D E 1.一条线段的长度是另一条线段的 5 倍，则这两条线段的比等于 . 2.已知 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a = 3 cm，b = 2 cm，c = 6 cm，则线段 d = . 3.已知三个数 2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为 . 4 cm 或 3 或 12 5∶1 拓展练习 4.如图，设 AB 是已知线段，在 AB 上作正方形 ABCD；取 AD 的中点 E，连接 EB；延长 DA 至 F，使 EF = EB；以线段 AF 为边作正方形 AFGH.点 H 就是 AB 的黄金分割点. 解：设 AB = 1，那么在 Rt△BAE 中， A B C D E F G H 点 H 就是 HB 的黄金分割点. 比例线段 两条线段的比： 比例线段 ①求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一； ②与单位无关，本身没有单位； ③两条线段有顺序要求 ①概念：项、比例内项、比例外项； ②四条线段有顺序要求； ③特别地：比例中项 课堂小结 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果 , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比. 一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段:原线段 = 定义 课堂小结 $