2.5 第2课时 图形面积问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的图形面积应用，通过小区通道规划问题导入，衔接封面设计、矩形截正方形等实例，以合作探究、变式训练构建学习支架，帮助学生从实际问题中抽象数量关系与空间形式。 其亮点在于融入生活情境培养数学眼光，如羊圈围栏、动点面积问题引导学生发现数学原理，结合平移求面积动态视频增强几何直观。通过多解法对比和根的实际意义检验发展数学思维与模型意识，助力学生提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

2.5 一元二次方程的应用 第2章 一元二次方程 第2课时 图形面积问题 优翼数学教学课件（XJ）九上 问题 某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m，则由题意列的 方程为_____________________. C B D A (30 - 2x)(20 - x) = 6×78 问题引入 导入新课 几何图形与一元二次方程 合作探究 引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 27 cm 21cm 新课讲授 分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右边衬的宽度 之比为 : . 9 9 解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为 9 7 7 7 27 cm 21cm 设上下边衬的宽均为 9x cm，左右边衬宽为 7x cm，则中央的矩形的长为 (27 − 18x) cm，宽为 (21 − 14x) cm. 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. 27 cm 21cm 于是可列出方程 解得 故上下边衬的宽为 故左右边衬的宽为 方程的哪个根符合实际意义? 为什么? 试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 整理，得 16x2 − 48x + 9 = 0. 27 cm 21cm 解2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为 左右边衬的宽度为 27 cm 21cm 试一试：如图，一块长和宽分别为 40 cm，28 cm 的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 364 cm2. 求截去的小正方形的边长. 解：设截去的小正方形的边长为 x cm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为 (40 - 2x)cm，(28 - 2x)cm. 根据题意，有 (40 - 2x)(28 - 2x) = 364． 解得 x1 = 27，x2 = 7． 整理得， x2 - 34x + 189 = 0. 8 如果截去的小正方形的边长为 27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为 54 cm，这超过了矩形铁皮的长 40 cm. 因此 x1 = 27 不合题意，应当舍去． 即所截去的小正方形的边长为 7 cm. 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 典例精析 还有其他列法吗？ 方法一： 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取 x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 方法二： 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜20. (32 − x)(20 − x) = 540， 可列方程为 变式一 x 20-x 32-x 答：道路的宽为 2 m. 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 20 32 x 2x 20-x 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜16. (32 − 2x)(20 − x) = 540. 可列方程为 变式二 32-2x 解得 x1 = 18 - x2 = 18 + (舍去). 答：道路的宽为 (18 - ) m. 20 32 2x 2x 32−2x 20−2x 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜10. (32 − 2x)(20 − 2x) = 540. 可列方程为 变式三 ∴ x = 1. 答：道路的宽为 1 m. 解得 x1 = 25(舍去)，x2= 1. 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为 3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少（保留两位小数）？ 变式四 32 cm 20 cm 2x 3x 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解：设横、竖小路的宽度分别为 3x m、2x m， 于是可列方程 20 cm 32 cm 3x 2x 32−4x (32 − 4x)(20 − 6x) = —×20×32. 4 3 3x 2x 6x 4x 32−4x 20−6x 20−6x 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 方法点拨 ∴ x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24. 解得 x1= x2= (舍). 答：横、竖小路的宽度分别约为 1.86 m、1.24 m. 视频：平移求面积动态展示 点击视频开始播放 解：设 AB 长是 x m. (100 - 4x)x = 400 整理得 x2 - 25x + 100 = 0. 解得 x1 = 5，x2 = 20. 当 x1 = 5，100 - 4x1 = 80 > 25，x = 5 (舍去)； 当 x2 = 20，100 - 4x2 = 20 < 25. 答：羊舍的边长 AB 和 BC 的长各是 20 m，20 m. 例2 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？ D C B A 25 m 变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？ 住房墙 1m 解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m， 由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80， 解得 x1 = 5，x2 = 8. 当 x = 5 时，26 − 2x = 16 > 12(舍去)； 当 x = 8 时，26 − 2x = 10 < 12. 故所围矩形鸡场的长为 10 m，宽为 8 m. 则平行于住房墙的一边长 (25 − 2x + 1) m. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm²？ 根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm. 解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm². 整理，得 解得 x1 = x2 = 3. 答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm². 则有 主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; 方法点拨 1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0 C．x2 - 130x - 1400 = 0 D．x2 - 65x - 350 = 0 80 cm x x x x 50 cm B 当堂练习 2. 一块矩形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5 cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm3，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为 x cm，则长为 2x cm. 列方程，得 5(2x − 10)(x − 10) = 3000， 整理，得 x2 − 15x − 250 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = −10 (舍去)，所以 2x = 50. 答：铁板的长为 50 cm，宽为 25 cm. 3. 如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 解：设横向、竖向彩条的宽度分别为 2x cm、3x cm，则 则 答：横竖条的宽度分别是 解得 ∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0， ∴ x＜ 几何图形问题与一元二次方程 几何图形 运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移聚零为整，方便列方程 动点面积问题 课堂小结 $通过刚刚的动手操作，我们发现当我们遇到的彩条不再是矩形，而是平行四边形的时候，我们可以将这个平行四边形转化为等底等高，从而面积相等矩形。再通过平移将小矩形平移至封皮的一侧，运用第一大类问题的方法进行求解。而当我们遇到这一类问题时也不要慌张。首先我们可以将这个水平宽度相等的不规则图形切割成两个等底的平行四边形。再通过转化将平行四边形转化为等底等高从而面积相等的小矩形。最后平移，将小矩形平移至封体的一侧，运用第一大类问题的方法进行求解。而当我们遇到这一类问题时，相信同学们已经有了一定的解决方法。首先切割。其次转化。第三平移。但做题时，往往我们遇到的彩条不再是一条，而是互相垂直的两条。例如这一类问题时，我们的方法也是相同。首先将这个平行四边形转化为等底等高从而面积相等的矩形，再通过平移将小矩形平移至封皮的一侧或两侧。运用第一大类问题的方法进行求解，遇到这一类问题时也是相同，切割转化平移问题解决。最后当我们遇到这一类问题，甚至情况更为复杂的这一类问题时，我们的方法也是相同。最后让我们一起来总结一下，当我们遇到的彩条是规则的平行四边形的时候，首先转化，将平行四边形转化为等底等高从而面积相等的矩形。第二平移，将小矩形平移至封皮的一侧或两侧进行求解。而当我们遇到的图形是不规则的图形的时候，首先切割，将这个不规则图形切割成几个水平宽度相等的平行四边形。其次转化，将平行四边形转化为等底等高从而面积相等的矩形。最后平移，将小矩形平移至封皮的一侧或两侧，运用之前学过的方法进而进行求解。