2.5 一元二次方程的应用-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

第２章　一元二次方程 ６９　 0  0 ２．５　一元二次方程的应用 知识点　 运用一元二次方程模型解决实际问题 【例】有一人患流感,经过两轮传染后,共有４９人患了 流感,求每轮传染中平均一人传染了几人． 解题步骤 ↓ 解 设每轮传染中平均一人传染了x 人． 设􀆺􀆺 由题意,得(x＋１)＋x(x＋１)＝４９, 列􀆺􀆺􀆺􀆺 解得x１＝６,x２＝－８(舍去)． 解􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 答:每轮传染中平均一人传染了６人． 答􀆺􀆺􀆺 列方程解决实际问题的四点注意 (１)注意挖掘题目中隐含的等量关系． (２)注意从语言叙述中写出等量关系． (３)注意列方程时各量之间的单位要统一． (４)注意要对求出的结果进行检验,看其是否为原问 题的解以及是否符合实际． x x  EO 0 M U “审”“验”不写,但很重要 列方 程 解 应 用 题 的 一 般 步 骤 为 审、设、列、解、 验、答． 第一 步“审”一 般 不 写 出 来,但 它 是 最 重 要 的 一 步,只 有 审 清 题 意,明 确 已知量、未知量及它们之 间的关系,才能准确地列 出方程． 第五 步“验”一 般 只 写 出 验根后的结果即可,过程 不必详述,但此步骤必不 可少,一定要充分利用题 目中 的 条 件 把 不 合 题 意 的根舍去． 数学　九年级　上册 ７０　 常考题型解读 I@3 １．一个两位数等于其各位数 字之积的３倍,且其十位数 字比个位数字小２,求这个 两位数． 题型一　一元二次方程在数学中的应用 数字问题 【例１】三个连续的正奇数,最大数与最小数的积比中间 的数的６倍大３,求这三个数． 思路分析 解决此类题的关键是厘清数量关系,若题目 涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意 一个数为x,则其他数可用含x 的代数式表示出来, 再根据题目条件列方程求解． 解 设这三个连续的正奇数分别为２n－１,２n＋１,２n＋３ (n 为正整数)． 依据题意,得(２n＋３)(２n－１)－６(２n＋１)＝３． 解这个方程,得n１＝３,n２＝－１(舍去)． 所以当n＝３时,２n－１＝５,２n＋１＝７,２n＋３＝９． 答:这三个数分别为５,７,９． 数字问题不算难,巧妙设元是关键 正确而巧妙地设出未知数,一般采用如下的间接 设元法: (１)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是 x,则其余两个数分别为x－１,x＋１． (２)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示: ①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示 为x－２,x,x＋２．②三个连续偶数可以表示为２x－２,２x, ２x＋２;三个连续奇数可以表示为２x－３,２x－１,２x＋１． 列方程解题时,一般采用第①种方法． (３)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分 别为a,b,则这个两位数可表示为１０a＋b． (４)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的 数字分别为a,b,c,则这个三位数可表示为１００a＋ １０b＋c． 第２章　一元二次方程 ７１　 0  0 　　图２．５Ｇ１ 几何问题 【例２】如图２．５Ｇ１,要利用一面墙(墙 长为２５m)建羊圈,用１００m 的围 栏围成总面积为４００m２ 的三个大 小相同的矩形羊圈,求:羊圈的边长 AB,BC 各为多少米? 思路分析 由题意知,矩形 ABCD 面积一定,围栏恰好 由４个AB 和１个BC 组成,故设AB 为x m,则BC 为(１００－４x)m,根据矩形面积公式,列方程求解． 解 设AB 为x m,则BC 为(１００－４x)m． 依据题意,得x(１００－４x)＝４００． 解这个方程,得x１＝５,x２＝２０． 当AB＝５m 时,BC＝１００－４x＝８０(m)． 因为８０＞２５,所以x＝５不合题意,舍去． 当AB＝２０m 时,BC＝１００－４x＝２０(m)． 答:羊圈的边长AB,BC 分别为２０m,２０m． "> 列方程解实际问题“必备三环节” (１)整体系统地分析题意; (２)把握题目中的等量关系,列方程; (３)正确求解方程并检验解的合理性． 【例３】如图２．５Ｇ３,在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AB＝ １３cm,BC＝１２cm,点 P 沿AC 边从点A 开始以 １cm/s的速度向点C 移动,同时点Q 沿CB 边从点 C 开始以２cm/s的速度向点B 移动． (１)运动几秒后,点P,Q 之间的距离等于５cm? (２)点P,Q 出发几秒后,△PCQ 的面积等于４cm２? 图２．５Ｇ３ 思路分析 设xs后,点P,Q 之间的距离等于５cm,用 含x 的式子表示PC 和CQ,利用勾股定理及三角形 面积公式构造方程求解． ２．某单位准备将院内一块长 为４５m、宽为３０m 的矩形 空地建成一个矩形花园,要