2.5 第1课时 增长率问题与经济问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

2.5 一元二次方程的应用 第2章 一元二次方程 第1课时 增长率问题与经济问题 优翼数学教学课件（XJ）九上 问题：某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率.若今年的使用率为 40%，计划后年的使用率达到 90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）. 今年的使用率×(1 + 年平均增长率)² = 后年的使用率 你能找出问题中涉及的等量关系吗？ 导入新课 2 40%(1 + x)² = 90% 整理，得 (1 + x)² = 2.25 解得 x1 = -2.5（不合题意，舍去）， x2 = 0.5 = 50% 答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为 50%. 若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为 x，请你根据等量关系，列出方程： 接下来请你解出此一元二次方程 x1 = -2.5 符合题意吗？ 填空： 1. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1 吨甲种药品的成本是 元. 7% 4324.5 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 探究归纳 增长率问题 新课讲授 2. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元. 下降率 x 第一次降低前的量 5000(1 - x) 第一次降低后的量 5000 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1 - x)(1 - x) 5000(1 - x)2 5000(1 - x) 5000(1 - x)2 例1 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率. 解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得 5 000 (1 - x)2 = 4050， 解方程，得 x1 = 0.1，x2 = 1.9. 根据问题的实际意义，取 x = 0.1， 即甲种药品成本的年平均下降率为 10％. 注意 下降率不可为负，且不大于 1. 练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率. 解：设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意，列方程，得 6000(1 − y)2 = 3600 解方程，得 y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，取 y≈0.225， 即甲种药品成本的年平均下降率为 22.5%. 注意 下降率不可为负，且不大于1. 解后反思 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000 - 3000）÷2 = 1000 元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000 - 3000）÷2 = 1200 元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量(年平均下降率)也可能相等． 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢? 也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为 x，增长(或降低)前的是 a，增长(或降低)n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n = b(其中增长取“+”,降低取“－”). 变式1 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半. 已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率. （精确到0.1%） 解：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解方程，得 答：每次降价的百分率为 29.3%. 变式2 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%） 解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 x， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 (不合题意，舍去) 答：每次升价的百分率为 9.5%. 例2 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元.求平均每次降价的百分率. 解析：原价×(1 - 平均每次降价的百分率)² = 现行售价 解：设平均每次降价的百分率为 x，则根据等量关系得 100(1 - x)² = 81 解得 x1 = 1.9 ，x2 = 0.1 = 10% 答：平均每次降价的百分率为 10%. (不合题意，舍去) 13 例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为 x. 根据题意，得 答：这个增长率为 50%. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950， 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = −3.5(舍去)，x2 = 0.5 = 50%. 情境引入 每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？ 例4 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为 x 元，则可卖出 (350 - 10x) 件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的 120％.若该商店计划从这批商品中获取 400 元利润 (不计其他成本)，问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 解：(售价 - 进价)×销售量 = 利润. 利用一元二次方程解决营销问题 16 根据等量关系得 (x - 21)(350 - 10x) = 400 整理，得 x² - 56x + 775 = 0 解得 x1 = 25，x2 = 31. 所以 x = 31 不合题意，应当舍去.故 x = 25. 答：该商店需要卖出 100 件商品，且每件商品的售价是 25 元. 从而卖出 350 - 10x = 350 - 10×25 = 100（件） 因为 21×120% = 25.2，即售价不能超过 25.2 元， 方法归纳 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设出未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 例5 某超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析：设商品单价为 (50 + x) 元，则每个商品得利润[(50 + x)－40]元，因为每涨价 1 元，其销售会减少 10，则每个涨价 x 元，其销售量会减少 10x 个，故销售量为 (500－10x) 个，根据每件商品的利润×件数 = 8000，则 (500－10x)· [(50 + x)－40] = 8000. 解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为 (50 + x) 元，销售量为 (500－10x) 个，则 (500－10x)· [(50 + x)－40] = 8000， 整理得 x2－40x + 300 = 0， 解得 x1 = 10，x2 = 30 都符合题意. 当 x = 10 时，50 + x = 60，500－10x = 400； 当 x = 30 时，50 + x = 80， 500－10x = 200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3 株时，平均单株盈利 3 元；以同样的栽培条件，若每盆增加 1 株，平均单株盈利就减少 0.5 元.要使每盆的盈利达到 10 元，每盆应该植多少株? 思考:这个问题设什么为 x? 有几种设法? 如果直接设每盆植 x 株，怎样表示问题中相关的量? 如果设每盆花苗增加的株数为 x 株呢？ 针对练习 整理，得 x2 - 3x + 2 = 0. 解这个方程，得 x1 = 1，x2 = 2. 经检验，x1 = 1， x2 = 2 都符合题意. 答:要使每盆的盈利达到 10 元，每盆应植入 4 株或 5 株. 解：设每盆花苗增加的株数为 x 株，则每盆花苗有 (x + 3) 株，平均单株盈利为 (3 - 0.5x) 元.根据题意，得 (x + 3)(3 - 0.5x) = 10. 总结归纳 利润问题常见关系式 基本关系：(1)利润＝售价－________； (3)总利润＝____________×销量. 进价 单个利润 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元．若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为 . B 2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8 当堂练习 3. 某村种的水稻前年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x. 根据题意，得 7200(1 + x)2 = 8712. 解得 x1= -1.1(不符合题意，舍去)，x2 = 0.1 = 10%，答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%. 例4 某商场销售某种冰箱，每台进价为 2500 元.市场调研表明:当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销价每降低 50 元时，平均每天能多售 4 台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元? 分析：本题的主要等量关系是： 每台的销售利润×平均每天销售的数量 = 5000元. 解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得 整理，得 x2 - 300x + 22500 = 0. 解方程，得 x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为 2750 元. 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得 (40 - x)(20 + 2x) = 1200. 整理得，x2 - 30x + 200 = 0. 解方程得，x1 = 10，x2 = 20. 因为要尽快减少库存，所以 x = 10 舍去. 答：每件衬衫应降价 20 元. 5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 能力提升 菜农大伟种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，大伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得 5(1 - x)2 = 3.2. 解得 x1 = 1.8 (舍去)，x2 = 0.2 = 20%. ∴平均每次下调的百分率为 20%. 能力提升 菜农大伟种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，大伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到大伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，大伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元. 试问小华选择哪种方案优惠更多？请说明理由. 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为 3.2×0.9×5000 = 14400 (元)， 方案二所需费用为 3.2×5000 - 200×5 = 15000 (元). ∵ 14400＜15000， ∴ 小华选择方案一购买优惠更多. 一元二次方程 的应用 增长率问题 a(1+x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量 降低率问题 a(1-x)2 = b,其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量.注意 1 与 x 位置不可调换 经济利润问题 课堂小结 (2)利润率＝×100%； $