2.4 一元二次方程根与系数的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

*2.4 一元二次方程根与系数的关系 第2章 一元二次方程 优翼数学教学课件（XJ）九上 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 导入新课 探索一元二次方程的根与系数的关系 算一算 解下列方程并完成填空： (1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 -4 1 2 3 -1 x1 + x2 = -3 x1·x2 = -4 x1 + x2 = 5 x1·x2 = 6 将二次项系数化为 1 新课讲授 猜一猜 （1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 重要发现 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式 (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 猜一猜 （2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么你可以发现什么结论？ 证一证： 注：b2 - 4ac≥0 ↗ 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为 x1， x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 Δ = b2 - 4ac≥0. 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）2x2 - 3x + 1= 0； 解：这里 a = 2，b = -3，c = 1. Δ = b2 - 4ac = (- 3)2 - 4 × 2 ×1 = 1 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2， 那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = . （2）x2 - 3x + 2 =10. 解：这里 a = 1，b = -3，c = -8. Δ= b2 - 4ac = (- 3)2 - 4 × 1 × (-8) = 41 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = 3 ， x1 x2 = -8 . （3）7x2 - 5 = x + 8. 解：这里 a = 7，b = -1，c = -13. Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 × 7 ×(-13)= 365 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = . 例2 已知方程 x2 + 3x + q = 0 的一个根是 -3，求它的另一个根及 q 的值. 解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1 = -3 . 所以 x1 + x2 = -3， 即 x2 = 0 由于 x1·x2 = q = (-3)·0 = 0 得 q = 0. 答：方程的另一个根是 0，q = 0. 变式：已知方程3x2-18x+m = 0的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1 = 1. 所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， 即 x2 = 5 . 由于 x1·x2 = 1×5 = 得 m = 15. 答：方程的另一个根是 5，m = 15. 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1· x2 = ； (3) ； (4) . 4 1 14 12 练一练 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 归纳 例4 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值. 解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0. 常见的求值式子如下： 16 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 1 -2 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____. ___ -3 当堂练习 3. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为 x1，则 1 · x1 = ∴ x1 = 4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0 的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. （1）求 k 的值； （2）求 (x1 - x2)2 的值. 解：(1)根据根与系数的关系，得 ∴(x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 解得 k = -7. (2)∵ k = -7，∴ 则 5.设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2) 解：由根与系数的关系，得 （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = （2） 6. 当 k 为何值时，方程 2x2 - kx + 1 = 0 的两根之差为 1？ 解：设方程两根分别为 x1，x2 (x1 > x2)，则 x1 - x2 = 1. 由方程有两个实数根，得 Δ = k2 - 8≥0，即 k2≥8. ∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1， 拓展提升 由根与系数的关系，得 7.已知关于 x 的一元二次方程 mx2 - 2mx + m - 2 = 0. （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）若方程两根 x1，x2 满足 |x1 - x2| = 1，求 m 的值. 解：（1）∵方程有实数根， ∴ Δ = (-2m)2 - 4m(m - 2) = 4m2 - 4m2 + 8m = 8m≥0. ∵ m ≠ 0 ∴ m 的取值范围是 m＞0. （2）由根与系数的关系得 解得 m = 8，符合题意. ∵ |x1 - x2| = 1， 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 x1，x2，那么 应 用 …… 课堂小结 $