2.3 一元二次方程根的判别式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

2.3 一元二次方程根的判别式 第2章 一元二次方程 优翼数学教学课件（XJ）九上 问题：老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程时，小红突然站起来说出了每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？ 导入新课 2 回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) . 解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 . 配方，得 x2 + x + - - = 0, 移项，得 = 问题1：接下来能用直接开平方解吗？ 一元二次方程根的判别式 新课讲授 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ ≥0，4a2＞0 . 当 b2 - 4ac＞0 时，x1= ， x2= 当 b2 - 4ac = 0 时， x1 = x2 = 当 b2 - 4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以原方程没有实数根. 两个不等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2 − 4ac 来判定，我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式. 通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 要点归纳 5 按要求完成下列表格： 练一练 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不等的实数根 Δ 6 3.判别根的情况，得出结论. 1.化为一般式，确定 a，b，c 的值. 要点归纳 根的判别式使用方法 2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号. 7 根的判别式的应用 例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0. ∵Δ = b2 - 4ac = 1 - 4×1×(-1) = 5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故选 B. B 8 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根. 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则 Δ = b2 - 4ac > 0，同时要求二次项系数不为 0，即 ，k ≠ 0.解得 k > -1 且 k ≠ 0，故选 B. B 10 例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1) 3x2 + 4x－3 = 0； (2) 4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1). 解：(1)3x2 + 4x－3 = 0，a = 3，b = 4，c = －3， ∴Δ = b2－4ac = 42－4×3×(－3) = 52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． (2)方程化为 4x2－12x + 9 = 0， ∴Δ = b2－4ac = (－12)2－4×4×9 = 0. ∴方程有两个相等的实数根． 11 (3) 7y = 5(y2 + 1). 解：(3)方程化为 5y2－7y + 5 = 0， ∴Δ = b2－4ac = (－7)2－4×5×5 = －51＜0. ∴方程无实数根． 12 1.关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . 注意：一元二次方程有两个实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况. 解： ∴m≤1. ∵Δ = b2 − 4ac = (-2)2 − 4×1×m = 4 - 4m≥0， 当堂练习 13 2.不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）2x2 + 3x − 4 = 0； （2）x2 − x + = 0； 解：（1）2x2 + 3x − 4 = 0，a = 2，b = 3，c = −4， ∴ Δ = b2 − 4ac = 32 − 4×2×(−4) = 41＞0. ∴方程有两个不等的实数根． （2）x2 − x + = 0，a = 1，b = −1，c = ， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1× = 0. ∴方程有两个相等的实数根． 14 （3）x2 − x + 1 = 0，a = 1，b = −1，c = 1， ∴Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1×1 = −3 < 0. ∴方程无实数根． （3） x2 − x + 1 = 0. 3.不解方程，判断关于 x 的方程 的根的情况. 解： 所以方程有两个实数根． Δ＝( k )2 − 4×1×k2 = 4k2. ∵k2≥0， ∴4k2≥0， 即 Δ≥0. 能力提升： 在等腰△ABC 中，三边分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长. 解：关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 − b = 0 有两个相等的实数根， 所以 Δ = (b + 2)2 − 4(6 − b) = b2 + 8b − 20 = 0. 解得 b1= −10 (舍去)，b2 = 2. 由三角形三边的性质，得 c = 5， 所以△ABC 的三边长为5，2，5，其周长为5 + 2 + 5=12. 17 根的判别式：Δ = b2 - 4ac Δ＞0，方程有两个不相等的实数根 Δ＜0，方程没有实根 Δ＝0，方程有两个相等的实根 课堂小结 $