第1章 反比例函数 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

小结与复习 第1章 反比例函数 优翼数学教学课件（XJ）九上 1. 反比例函数的概念 定义：形如_______ (k 为常数，k ≠ 0) 的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数. 三种表达式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)． 防错提醒：(1) k ≠ 0；(2) 自变量 x ≠ 0；(3) 函数值 y ≠ 0. 要点梳理 2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k ≠ 0) 的 图象是 ，它是轴对称图形，两条对称轴 为直线 和 . 双曲线 y = x y = -x (2) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 (k ≠ 0) k＞0 一、三象限(x，y 同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 k＜0 二、四象限(x，y 异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 x y o x y o (3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之 积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过反比例函数图象 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 | k |. 推论：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 . 3. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数： ①根据两变量之间的反比例关系，设 ； ②代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应 值，求出 k 的值； ③写出表达式. ◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y＝k1x＋b (k1 ≠ 0) 和双曲线 (k2 ≠ 0)的交点坐标就是解这两个函数表达式组成的方 程组. ◑利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值. 考点一 反比例函数的概念 针对训练 1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? ① y = 3x－1 ② y = 2x2 ⑤ y = 3x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 考点讲练 8 2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，则 k 的值是 ( ) A. 3　　 B. －3 C. D. B 3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数 A 9 解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y1，y2， y3 的值，再比较出其大小即可； 方法②：根据反比例函数的图象和性质比较． 考点二 反比例函数的图象和性质 例1 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函数 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是 ( ) A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 D　 方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的性质比较，在不同的象限内不能按其性质比较，可根据其正负来确定大小． 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2) 都在反比例函数 (k＜0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 . y1＞y2 针对训练 考点三 与反比例系数 k 有关的问题 例2 如图，两个反比例函数 和 在第一 象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B， 则 △POB 的面积为 . 1 针对训练 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l∥y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＞0) 的图象交于 P，Q 两点，若 S△POQ = 14， 则 k 的值为 . -20 考点四 反比例函数的应用 例3 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数 y = kx + b 与反比例函数 (m＜0) 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D． (1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取 何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； O B A x y C D 解：当 －4＜x＜－1 时，一次函数的值大于反比例函数的值. (2) 求一次函数表达式及 m 的值； 解：把 A(－4， )，B(－1，2) 代入 y = kx + b 中，得 －4k + b = ， －k + b = 2， 解得 k = ， b = . 所以一次函数的表达式为 y = x + . 把 B (－1，2) 代入 中，得 m =－1×2=－2. (3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 的坐标. 解：设点 P 的坐标为 (t， t + )，则 P 点到直线 AC 的距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为 2－( t + )． ∵ △PCA 面积和 △PDB 面积相等， ∴ AC·[t－(－4)] = BD·[2－( t + )]， 解得 t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( ， )． O B A x y C D P 方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合题，关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 针对训练 如图，设反比例函数的表达式为 (k＞0)． (1) 若该反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图象有一个 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； O y x 解：由题意知点 P 在正比例函数 y = 2x 上，把 P 的纵坐标 2 代入该表达式， 得 P (1，2)，把 P (1，2) 代入 ， 得到 P 2 (2) 若该反比例函数的图象与过点 M (-2，0) 的直线 l： y = kx + b 交于 A，B 两点，如图所示，当 △ABO 的面积为 时，求直线 l 的表达式； 解：把 M (-2，0) 代入 y = kx + b， 得 b = 2k，∴ y = kx + 2k. O A y B x M l N 解得 x1 = -3，x2 = 1. y = kx + 2k， ∴ ∴ B (-3，-k)，A (1，3k). ∵ △ABO 的面积为 ∴ ×2×3k + ×2k = 解得 ∴ 直线 l 的表达式为 y = x + ． O y x M l N A (1，3k) B (-3，-k) (3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) 解：当 x＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值. 例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题： (1) 求当 0≤x≤2 时，y 与 x 的函数表达式； 解：当 0≤x≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系． 设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x. O y/毫克 x/小时 2 4 (2) 求当 x ＞ 2 时，y 与 x 的函数表达式； 解：当 x＞2 时，y 与 x 成反比例函数关系，设 解得 k＝8. 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 即 O y/毫克 x/小时 2 4 (3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，解得 x≥1，∴ 1≤x≤2； 当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥2，解得 x≤ 4. ∴ 2＜x≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有效时 间是 1＋2＝3 (小时)． O y/毫克 x/小时 2 4 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为 4℃，加热一段时间使材料温度达到 28 ℃ 时停止加热，停止加热后，材料温度 逐渐下降，这时温度 y 与时间 x 成反比例函数关系，已知第 12 分钟时，材料温度是 14 ℃． 针对训练 O y(℃) x(min) 12 4 14 28 4 (1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出 x 的取值范围）； O y(℃) x(min) 12 4 14 28 答案： y = 4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)， (x＞6). 4 (2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟? 解：当 y = 12 时，y = 4x + 4，解得 x = 2． 由 ，解得 x = 14. 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14－2 = 12 (分钟)． O y(℃) x(min) 14 4 12 2 反比例函数 定义 图象 性质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 课堂小结 见教材章末练习 课后作业 $