第1章反比例函数（单元测试·提升卷）数学湘教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章反比例函数·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义，形如即为反比例函数． 【详解】解：是的反比例函数的是， 故选D． 2．若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义和解一元一次方程，形如的函数，叫反比例函数．根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵为关于的反比例函数， ∴， 解得， 故选C． 3．小亮结合一次函数、反比例函数的学习经验，尝试探究函数的图像与性质，得到的结论中正确的是（   ） A．它的自变量取值范围是全体实数 B．它的图像在第一、三象限 C．在自变量的取值范围内，随的增大而减小 D．它的图像是轴对称图形，对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数，函数解析式，分析函数自变量的取值范围、图像位置、增减性及对称性，逐一验证即可． 【详解】解：A：函数中，分母在时为0，无意义，故自变量取值范围是，而非全体实数，故不符合题意； B：当时，，位于第一象限； 当时，，图像位于第二象限， 因此图像在第一、二象限，而非第一、三象限，故不符合题意； C：分情况讨论： 当时，，增大则减小， 当时，，增大（趋近于0）时，减小，增大，故不符合题意； D：将替换为，得，函数值不变，故图像关于轴对称； 故选：D． 4．在下列各图中，反比例函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象性质：①，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大；②，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 由于，比例系数，根据反比例函数的性质，可得图象在第一和第三象限．再根据，得图象在第一象限，即可得出答案． 【详解】解：，可根据， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小； ∵， 反比例函数的图象在第一象限内． 故选：A． 5．请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（   ） A．图象与轴的交点是 B．图象与轴有一个交点 C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与平移，利用反比例函数图象性质逐项判断解题即可． 【详解】解：函数的图象是函数向右平移个单位得到， A、 当时，，则图象与轴的交点是，原说法错误； B、令，方程无解，故图象与轴无交点，原说法错误； C、 在每个分支上，随的增大而减小，原说法错误； D、 当时，，说法正确； 故选：D． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 7．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 8．已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据题意可以求得两函数图象的交点A的坐标，从而可以判断①；根据点A的坐标可以判断②；根据点B的横坐标可以分别求出点B、C的坐标，从而可以得到的值，从而可以判断③；根据函数图象可以判断④． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， 将代入，得， ∴两函数图象的交点A的坐标为，故①正确； 由图象可知，当时，，故②错误； 将代入得，， 将代入得，， ∴，故③正确； 由图象可知，当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小，故④正确； 故选：D． 9．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】①分，、、找出y的正负，由此可得出函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；②由在分母上可得出，函数图象与轴无交点，②正确；③由当时，，可得出函数图象与轴的交点坐标为、，③错误；④设点（）为函数图象上任意一点，根据函数图象上点的坐标特征可得出点在函数的图象上，即图象关于原点成中心对称，④正确；⑤利用作差法确定当时，随的增大而增大，⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①当时，，图象在第三象限； 当时，，图象在第二象限； 当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第一象限． ∴函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误； ②∵为分母， ∴， ∴函数图象与轴无交点，②正确； ③当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标为、，③错误； ④设点（）为函数图象上任意一点， 则，， ∴点在函数的图象上， ∴图象关于原点成中心对称，④正确； ⑤当时，设， 则 即：当， ∴当时，随的增大而增大，⑤正确． 综上所述：正确的结论有②④⑤． 故选：C． 10．如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，等腰三角形的性质，数字规律，由第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，则第个等腰三角形顶点的横坐标为，然后代入反比例函数即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意知，每个等腰三角形的底边长均为，且顶点在反比例函数的图象上， ∵第个等腰三角形顶点的横坐标为， 第个等腰三角形顶点的横坐标为， 第个等腰三角形顶点的横坐标为， ， ∴第个等腰三角形顶点的横坐标为， ∴第个等腰三角形顶点的纵坐标为， ∴第个等腰三角形顶点的坐标为， 故选：． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，掌握待定系数法是关键． 根据题意，设，分别代入计算得到解得，则，即可求解． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， 当时，，时，， ∴， 解得，， ∴， 当时，， 故答案为： ． 12．已知反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数的图像得到，即可求出答案． 【详解】解：已知反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得， 故答案为：． 13．如图：菱形的顶点坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点，则的值为 ． 【答案】216 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、菱形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先根据菱形的性质可得，再求出，代入反比例函数的解析式即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵顶点在轴的正半轴上， ∴，即， ∵反比例函数的图像经过顶点， ∴， 故答案为：216． 14．如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 15．如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过点作轴于点，交于点，可得，即得，得到，设，则，，可得，，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，在x轴上，若四边形为平行四边形且面积为5，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形的面积公式计算．由轴，可知，、两点纵坐标相等，设，求出的长，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：点在双曲线上，点在双曲线上，轴， 设， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，轴于点E，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一次函数表达式推出△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE，再由AC的长求出AE和CE，再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值； （2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出△CDE的面积． 【详解】解：（1）∵一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B， ∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形， ∴AE=CE， ∵AC=，即， 解得：AE=CE=3， 在y=x+1中，令y=0，则x=-1， ∴A（-1，0）， ∴OE=2，CE=3， ∴C（2，3）， ∴k=2×3=6， ∴反比例函数表达式为： ； （2）联立：， 解得：x=2或-3， 当x=-3时，y=-2， ∴点D的坐标为（-3，-2）， ∴S△CDE==． 19．(7分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点为A，过点A作轴于点B．已知，点A的横坐标是． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与x轴交于点C，求的面积； (3)结合函数图象，直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据反比例函数图象在第二、四象限，可得，进而问题可求解； （2）点的坐标为，，利用三角形面积公式进行解答即可； （3）由（2）及函数图象,令解之可进行求解． 【详解】（1）解：∵轴于点，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的横坐标是． ∴ ∴点 把代入得到， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：一次函数的图象与x轴交于点C， 令，得， ∴点的坐标为， ∵过点A作轴于点B． ∴ ∴， ∴的面积； （3）解：∵， ∴根据图象可知：当一次函数的值大于反比例函数的值． 令，解得或， ∴当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围为或． 20．（7分）如图，O为坐标原点，直线与双曲线相较于点和点两点． (1)求的函数表达式； (2)直接写出当，时，x的取值范围； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）设，利用的面积是面积的2倍，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点和点均在反比例函数图象上， ， ，， ，的函数表达式为， 点和点在直线上， ，解得， 的函数表达式为； （2）解：，是直线和反比例函数的交点， 观察图象可知：或时，； （3）解：在函数中，令，得， 直线交轴于， 设， 的面积是面积的2倍， ， 解得或， 或． 21．（8分）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 22．（8分）如图，已知直线过点，且与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)当且时，自变量的取值范围是______； (3)若双曲线与直线相交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数与不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，然后解出不等式组即可； （）联立方程组，求出另一个交点B的坐标为，作轴于点E，轴于点，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把和点代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵且， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：联立方程组，得， 解得（舍去）或， ∴另一个交点B的坐标为， 如图，作轴于点E，轴于点， ∴，，，， ∴． 23．（10分）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章反比例函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D A D C D D C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．216 14． 15． 16． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分） 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 18．（6分） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一次函数表达式推出△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE，再由AC的长求出AE和CE，再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值； （2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出△CDE的面积． 【详解】解：（1）∵一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B， ∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形， ∴AE=CE， ∵AC=，即， 解得：AE=CE=3， 在y=x+1中，令y=0，则x=-1， ∴A（-1，0）， ∴OE=2，CE=3， ∴C（2，3）， ∴k=2×3=6， ∴反比例函数表达式为： ； （2）联立：， 解得：x=2或-3， 当x=-3时，y=-2， ∴点D的坐标为（-3，-2）， ∴S△CDE==． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，解一元二次方程，三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图形作答． 19．（7分） 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据反比例函数图象在第二、四象限，可得，进而问题可求解； （2）点的坐标为，，利用三角形面积公式进行解答即可； （3）由（2）及函数图象,令解之可进行求解． 【详解】（1）解：∵轴于点，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的横坐标是． ∴ ∴点 把代入得到， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：一次函数的图象与x轴交于点C， 令，得， ∴点的坐标为， ∵过点A作轴于点B． ∴ ∴， ∴的面积； （3）解：∵， ∴根据图象可知：当一次函数的值大于反比例函数的值． 令，解得或， ∴当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围为或． 20．（7分） 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）设，利用的面积是面积的2倍，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点和点均在反比例函数图象上， ， ，， ，的函数表达式为， 点和点在直线上， ，解得， 的函数表达式为； （2）解：，是直线和反比例函数的交点， 观察图象可知：或时，； （3）解：在函数中，令，得， 直线交轴于， 设， 的面积是面积的2倍， ， 解得或， 或． 21．（8分） 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 22．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数与不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，然后解出不等式组即可； （）联立方程组，求出另一个交点B的坐标为，作轴于点E，轴于点，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把和点代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵且， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：联立方程组，得， 解得（舍去）或， ∴另一个交点B的坐标为， 如图，作轴于点E，轴于点， ∴，，，， ∴． 23．（10分） 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章反比例函数·能力提升 建议用时：100分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 一、单选题 1．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．小亮结合一次函数、反比例函数的学习经验，尝试探究函数的图像与性质，得到的结论中正确的是（   ） A．它的自变量取值范围是全体实数 B．它的图像在第一、三象限 C．在自变量的取值范围内，随的增大而减小 D．它的图像是轴对称图形，对称轴是轴 4．在下列各图中，反比例函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（   ） A．图象与轴的交点是 B．图象与轴有一个交点 C．随的增大而减小 D．当时， 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 9．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤ 10．如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 12．已知反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是 ． 13．如图：菱形的顶点坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点，则的值为 ． 14．如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ． 15．如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为 ． 16．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，在x轴上，若四边形为平行四边形且面积为5，则等于 ． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 18．(6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，轴于点E，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 19．（7分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点为A，过点A作轴于点B．已知，点A的横坐标是． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与x轴交于点C，求的面积； (3)结合函数图象，直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围． 20．（7分）如图，O为坐标原点，直线与双曲线相较于点和点两点． (1)求的函数表达式； (2)直接写出当，时，x的取值范围； 21．（8分）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 22．（8分）如图，已知直线过点，且与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)当且时，自变量的取值范围是______； (3)若双曲线与直线相交于两点，求的面积． 23．（10分）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章反比例函数·能力提升 建议用时：100分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．小亮结合一次函数、反比例函数的学习经验，尝试探究函数的图像与性质，得到的结论中正确的是（   ） A．它的自变量取值范围是全体实数 B．它的图像在第一、三象限 C．在自变量的取值范围内，随的增大而减小 D．它的图像是轴对称图形，对称轴是轴 4．在下列各图中，反比例函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（   ） A．图象与轴的交点是 B．图象与轴有一个交点 C．随的增大而减小 D．当时， 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 9．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤ 10．如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 12．已知反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是 ． 13．如图：菱形的顶点坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点，则的值为 ． 14．如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ． 15．如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为 ． 16．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，在x轴上，若四边形为平行四边形且面积为5，则等于 ． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，轴于点E，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 19．（7分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点为A，过点A作轴于点B．已知，点A的横坐标是． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与x轴交于点C，求的面积； (3)结合函数图象，直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围． 20．（7分）如图，O为坐标原点，直线与双曲线相较于点和点两点． (1)求的函数表达式； (2)直接写出当，时，x的取值范围； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 21．（8分）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 22．（8分）如图，已知直线过点，且与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)当且时，自变量的取值范围是______； (3)若双曲线与直线相交于两点，求的面积． 23．（10分）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$