1.3 反比例函数的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

第1章 反比例函数 1.3 反比例函数的应用 优翼数学教学课件（XJ）九上 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入 的反比例函数 (答案不唯一) 函数表达式： ． . 对于一个矩形，当它面积一定时，长 a 是宽 b 的反比例函数，其函数表达式可以写为 (S ＞ 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数表达式． 实例： (S＞0) 导入新课 反比例函数在实际生活中的应用 引例：某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合计 600 N， 那么： (1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例 函数吗？为什么？ 新课讲授 3 解：由 p＝ ，得 p＝ p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，就有唯一的一个 p 值和它相对应，这符合反比例函数的定义． (2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？ 解：当 S＝0.2 m2 时，p＝ ＝3000 (Pa) ． 答：当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3000 Pa． (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 解：图象如右. (3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？ 解：当 p≤6000 Pa 时，S≥0.1 m2. 0.1 0.5 O 0.6 0.3 0.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 p/Pa S/ 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于 d 的函数关系式为 典例精析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 答：如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时 应向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解得 S≈666.67. 答：当储存室的深度为 15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 想一想： 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用图象可表示为 ( ) B 练一练 A x y O B x y O C x y O D x y O 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为 1 升 (1升＝1 dm3) 的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位：dm) 有怎样的函数关系？ d 解：有反比例函数关系 (2) 如果漏斗的深为 10 cm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？ 解：10 cm = 1 dm， 把 d = 1 代入表达式，得 S = 3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，那么漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S = 0.6 代入表达式，得 d = 5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v (单位： 吨/天) 与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函数表达式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k = 30×8 = 240， 所以 v 关于 t 的函数表达式为 (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的表达式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t = 5 代入 ，得 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解：x = 12×5 = 60，代入函数表达式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完. (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了 8 天后剩余的垃圾有 1200－8×60 = 720 (m3)， 剩下的任务要在不超过 6 天的时间完成，则每天 至少运 720÷6 =120 (m3)， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机 10－5 = 5 (辆). 例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 千米/时的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6 = 480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt = 480， 整理得 (t ＞0). 例4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 反比例函数在其他学科中的应用 解：根据“杠杆原理”，得 Fl = 1200×0.5， ∴ F 关于 l 的函数表达式为 当 l = 1.5 m 时， 对于函数 ，当 l = 1.5 m 时，F = 400 N，此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400 N 的力. (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂 l 至少要加长多少? 提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 解：当 F = 400× = 200 时，由 200 = 得 3－1.5 = 1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F 越 小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长的动力臂杠杆才能把地球撬动？ 假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力) 由已知得 Fl＝6×1025×2×106＝1.2×1032 ， 当 F = 500 时，l = 2.4×1029 米， 解： 2000 千米 = 2×106 米， 练一练 变形得 故用 2.4×1029 米长的动力臂杠杆才能把地球撬动. 例5 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U ~ 解：根据电学知识，当 U = 220 时，得 (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的表达式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的表达式， 得到功率的最小值 因此用电器功率的范围为 220~440 W. 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I D 练一练 A. I R B. I R C. I R D. I R 与电阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( ) 例6 已知某电路的电压 U (V)、电流 I(A)、电阻 R(Ω) 三者之间有如下关系：U = IR，且该电路的电压 U 恒为220V． (1) 写出电流 I 与电阻 R 的函数关系式；(2) 如果该电路的电阻 R 为220Ω，则通过它的电流是多少的值． 解：(1) 因为 U = IR，且 U = 220V ， 所以 IR = 220 ， 即该电路的电流 I 关于电阻 R 的函数表达式为 (2) 因为该电路的电阻 R = 220Ω， 所以通过该电路的电流 (A) . (3) 如图所示，如果该电路接入的是一个滑动变阻器，怎样调整电阻 R，就可以使电路中的电流 I 增大？ 根据反比例函数 图象及性质可知，当滑动变阻器的电阻 R 减小时，就可以使电路中的电流 I增大. R/Ω I/A O 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为 x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C 当堂练习 2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2) 的函数关系为 . (2) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm2， 则面条的总长度是 cm. 2000 3. A、B 两城市相距 720 千米，一列火车从 A 城去 B 城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是________． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于____________． 240 千米/时 4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按 150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么这批煤能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6×150 = 90 (吨)， 根据题意有 (x＞0). (2) 画出函数的图象； 解：如图所示. 30 90 1 x y O (3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 0.1 吨煤， ∴ 每天的用煤量为 0.6－0.1 = 0.5 (吨)， ∴ 这批煤能维持 180 天． 5. 王某家离工作单位的距离为 3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解：(1) (2) 若王某到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ (2)把 t = 15 代入函数的表达式，得 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. (3) 如果王某骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位? 解：把 v = 300 代入函数表达式得 解得 t = 12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 6. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． (1) 求这个反比例函数的表达式； 解：设 ，把 M (4，9) 代入得 k = 4×9 = 36. ∴ 这个反比例函数的 表达式为 . O 9 I(A) 4 R(Ω) M (4，9) (2) 当 R =10 Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 解：当 R =10 Ω 时，I = 3.6 ≠ 4， ∴电流不可能是 4 A． 7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力 F (N) 之间的函数关系如下图所示： (1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； O 20 v (m/s) 3000 F(N) 解：P = 20×3000 = 60000 (W)， (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ (2) 当它所受牵引力为 1200 牛时，汽车的速度为多 少 km/h？ 解：把 F = 1200 N 代入求得的表达式得 v = 50， ∴汽车的速度是 3600×50÷1000 = 180 km/h. 答案：F ≥ 2000 N. 8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意， 求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x (m/天) y (天) O 解： (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50 = 1200 (m)； 2 台挖掘机需要 1200÷(2×15) = 40 (天). (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算) 完成任务，那么每天至少要完成多 少 m？ 解：1200÷30 = 40 (m)， 故每天至少要完成 40 m． 实际问题中的反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取正值； 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同. 课堂小结 $