1.2 第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦反比例函数图象与性质的综合应用，通过复习问题回顾图象和性质，搭建旧知支架，引导学生探究k的几何意义及与一次函数的综合运用，形成完整知识脉络。 其亮点在于采用合作探究模式，从具体点坐标计算矩形面积抽象出S=|k|，培养抽象能力和推理意识，例题结合图象比较大小等发展几何直观，课堂小结系统梳理方法，助力学生提升数学思维，教师使用可高效开展教学。

第1章 反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质 第3课时　反比例函数图象与性质的综合应用 优翼数学教学课件（XJ）九上 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 反比例函数的图象是双曲线 当 k > 0 时，两支曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两支曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 复习引入 问题1 问题2 导入新课 反比例函数表达式中 k 的几何意义 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，并填写下页表格： 合作探究 新课讲授 5 1 2 3 4 -1 5 x y O P S1 S2 P (2，2)，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = k -5 -4 -3 -2 1 4 3 2 -3 -2 -4 -5 -1 Q S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 的图象 上也用同样的方法取 P，Q 两 点，并分别向两坐标轴引垂线， 围成面积为 S1，S2 的矩形，填写表格： 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = -k y x O P Q S1 S2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，点 O 为坐标原点，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = |k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. y x O P S 我们就 k＜0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵ 点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab = k. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k. 若点 P 在第二象限，则 a＜0，b＞0. 若点 P 在第四象限，则 a＞0，b＜0. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k. B P A 综上可知， S矩形 AOBP = |k|. k＞0 的情况请同学们自行证明！ 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥y 轴于点 A，作 QB ⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 (k ≠ 0)， A B |k| y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 Q A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 ( ) A. SA＞SB＞SC B. SA＜SB＜SC C. SA = SB = SC D. SA＜SC＜SB 1. 如图，在函数 (x＞0) 的图象上有三点 y x O A B C C 练一练 2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . -12 提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0. y x O P A 3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 的任意两点，过 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD，垂足为 D，连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是 S3 S2. 例1 如图，P，C 是函数 (x＞0) 图象上 典例精析 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 练一练 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 ＜ S3 F S1 S2 S3 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1，△BOD 的面积 S2，△POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 ＜ S3 例2 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___. y D B A C x 3 2 5 O 如图所示，在平面直角坐标系中，过点 M 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＜0)的图象交于点 P，Q，若△POQ 的面积为 8，则 k =______. Q P O x M y －10 练一练 A(x1，y1) B(x2，y2) 例3 如图所示，点 A (x1，y1)，B (x2，y2) 都在双曲线 上，且 x2－x1 = 4，y1－y2 = 2. 分别过点 A，B 向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 C，D，E，F，AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2，五边形 AEODB 的面积为 14，那么双曲 线的表达式为 . 解得 k = 6. ∴双曲线的表达式为 . 解析：∵ x2－x1 = 4，y1－y2 = 2， ∴BG = 4，AG = 2， ∴S△ABG = 4×2÷2 = 4. 由反比例函数面积的不变 性可知， S长方形ACOE = S长方形BDOF = k . ∴ S五边形 AEODB = S四边形ACOE + S四边形BDOF－ S四边形FOCG + S△ABG = k + k －2 + 4 = 14. 解析：作AE⊥y 轴于点 E，BF⊥x 轴于点 F. ∵P 是 AC 的中点， ∴S四边形OCPD= S四边形ACOE = S四边形BDOF = k， 如图，已知点 A，B 在双曲线 上，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，若△ABP 的面积为 6，则 k = . 24 练一练 E F S△ABP= S四边形BFCP， = (S四边形BDOF－S四边形OCPD) = (k－ k)= k = 6. ∴k = 24. 反比例函数与一次函数的综合 在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x + b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b 各应满足什么条件？ k2＞0 b＞0 k1＞0 k2＞0 b＜0 k1＞0 合作探究 ① x y O x y O ② k2＜0 b＜0 k1＜0 k2＜0 b＞0 ③ x y O k1＞0 ④ x y O 例4 函数 y=kx－k 与 的图象大致是( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 由一次函数增减性得 k＞0 由一次函数与 y 轴交点知－k＞0， 则 k＜0 x 提示：由于两个函数表达式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax + 1 (a ≠ 0) 的图象可能是 ( ) A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B 练一练 例5 如图是一次函数 y1 = kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x O －2< x < 0 或 x > 3 解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2＜x＜0 或 x＞3. 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了. 练一练 如图，一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围 是 ． －1 2 y x O A B x < －1 或 0 < x < 2 例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的表达式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个表达式. 解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为 y = k1x 和 . 所以 ， . 解得 ， . P 则这两个函数的表达式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 想一想： 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ． (2，6)，(－2，－6) 解析：联立两个函数表达式，解方程即可. 练一练 例7 已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数 y = kx + b 与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数 表达式及 m 的值. 解：把 A (－4， )，B (－1，2) 代入 y = kx + b 中，得 －4k + b = ， －k + b =2， k = ， 解得 b = . 所以一次函数的表达式为 y = x + . 把 B (－1，2) 代入 中，得 m =－1×2=－2. A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定 1. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上， △ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) O B A P x y A 当堂练习 2. 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于 A， B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为 C，D，则四边形 ACBD 的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 3. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的 图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的表达 式是_______． 4. 如图，直线 y = k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于 A，B 两点，其横坐标分别为 1 和 5，则不等式 k1x + b＞ 的解集 是___________． 1＜x＜5 O B A x y 1 5 x y O B A 5. 如图，直线 y = ax + b 与双曲线 交于两点 A(1，2)，B(m，-4) 两点， (1) 求直线与双曲线的表达式； 所以一次函数的表达式为 y = 4x－2. 把 A，B 两点坐标代入一次函数表达式中，得到 a = 4，b =－2. 解：把 B(1，2) 代入双曲线表达式中， 得 k = 2，故其表达式为 . 当 y =－4 时，m = . (2) 求不等式 ax + b＞ 的解集. x y O B A 解：根据图象可知，若 ax + b＞ ， 则 x＞1或 ＜x＜0. 6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标； A y O B x 解： y =－x + 2 ， 解得 x = 4， y =－2 所以 A (－2，4)，B (4，－2). 或 x = －2， y = 4. 作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D， 则 AC = 4，BD = 2. (2) 求△AOB 的面积. 解：一次函数与 x 轴的交点为 M (2，0)， ∴OM = 2. O A y B x M C D ∴S△OMB = OM · BD÷2 = 2×2÷2 = 2， ∴S△OMA = OM · AC÷2 = 2×4÷2 = 4， ∴S△AOB = S△OMB + S△OMA = 2 + 4 = 6. 面积问题 面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数图象和性质的综合运用 课堂小结 $