1.2 第2课时 反比例函数y=k÷x（k＜0）的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

第1章 反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质 第2课时　反比例函数　　　　　的图象与性质 优翼数学教学课件（XJ）九上 观察与思考 问题 下表是一个反比例函数的部分取值，想一想这些点如果在平面直角坐标系中，那么会是怎样的一种情况呢？可以试着动手画一画． x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 导入新课 2 反比例函数 图象与性质 例1 画反比例函数 的图象. 解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为 列表 描点 连线 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0． 解：列表如下 x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y … 0.8 1 2 4 -4 -2 -1 -0.8 … 新课讲授 3 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 　 的图象． 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -6 -5 5 6 y x y = x 4 O 4 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　图象的画法与 图象的画法类似，但在解题的时候要注意图象所在的象限． 方法归纳 观察与思考 当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0) 的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： ●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 知识要点 归纳： (1) 当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 (k ≠ 0) 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数图象的位置和增减性 点 (2，y1) 和 (3，y2) 均在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“＞”“＜”或“=”). ＜ 练一练 10 例2 反比例函数 的图象大致是（ ） y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 典例精析 D 11 例3 如图是反比例函数 的图象，根据图象，回答下列问题： （1）k 的取值范围是 k＞0 还是 k＜0？说明理由； x y o 由图可知，反比例函数的图象的 两支双曲线分别位于第一三象限 内，在每个象限内，函数值 y 随自 变量 x 的增大而减小，因此，k＞0. 12 （2）如果点 A（-3，y1），B（-2，y2）是该函数上的两点，试比较 y1、y2 的大小. x y o 因为点 A（-3，y1），B（-2，y2） 是该图象上的两点，且-3 < 0，-2 < 0， 所以点 A，B 都位于第三象限.又因为 -3 < -2，由反比例函数图象的性质 可知：y1 > y2 13 例4 若双曲线 y = 的两个分支分别在第二、四象限，则 k 的取值范围是( ) A. k＞ B. k＜ C. k = D.不存在 解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有 2k - 1＜0，解得 k＜ . 故选 B. B 14 例5 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值. 解：由题意得 a2 + a－7 =－1，且 a－1＜0． 解得 a =－3. 双曲线的概念及性质 问题：观察前面绘制出来的图象，想一想它们有什么样的共同点与特征呢？ x y x y 双曲线 O O 是轴对称图形，也是 以原点为对称中心的中 心对称图形． 16 例6 如图，已知直线 y = mx 与双曲线 的一个交点坐标为(-1，3)，则它们的另一个交点坐标是 ( ) A. (1，3) B. (3，1) C. (1，-3) D. (-1，3) x y C O 17 例7 点(2，y1)和(3，y2)在函数 上， 则 y1 y2．（填“>”“<”或“=”） < 解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，且 y 随着自变量 x 的增大而增大，故 y1＜y2． 18 １．若反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，则 k 的取值可能是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 当堂练习 19 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是 ( ) O x y A O x y B O x y C O x y D B 3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内， 则 m 的取值范围是________. 4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (-1，12) 和点 (10，-1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于第二、四象限. 其中正确的是 (填序号). (1) (3) m ＞ 2 5.已知反比例函数的图象的一支如图所示． (1)判断 k 是正数还是负数； (2)求这个反比例函数的表达式； (3)补画这个反比例函数图象的另一支． 解：(1)因为反比例函数的图象在第二象限，所以 k 是负数． (3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画出另一支，图象略． (2)设反比例函数的表达式为 将(-4，2)代入其中，解得 k = -8，所以反比例函数的表达式为： 6. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，-4). (1) 求 k 的值； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2，-4)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 解得 k = -8. (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化? 解：这个函数的图象位于第二、四象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. (3) 画出该函数的图象； O x y 解：如图所示： (4) 点 B (1，-8) ，C (-3，5) 是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该表达式，而点 C 的坐标 不满足该表达式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上. 解：该反比例函数的表达式为 . 能力提升： 7. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2) 在反比例函数 (k＞0) 的图象上，若 y1＜y2，求 a 的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵ y1＜y2，∴ a－1＞a＋1，无解； ② 当这两点分别位于图象的两支上时， ∵ y1＜y2，∴ 必有 y1＜0＜y2. ∴ a－1＜0，a＋1＞0， 解得－1＜a＜1. 故 a 的取值范围是 －1＜a＜1. $