江苏省南京市金陵中学2025-2026学年高三上学期数学9月月考数学试题

2026届9月月考 2025/9/10 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． i 是虚数单位，复数＝ A．1＋i B．5＋5i C．－5－5i D．－1－i 2． 某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A．56 B．60 C．140 D．120 3． 已知alog169＝1，则3－a＝ A． B．16 C．4 D． 4． 已知正整数n满足C＝A，则n＝ A．7 B．6 C．5 D．4 5． 已知a＝(－3，4)，b＝(2，－1)，则a在b上的投影向量的模为 A．2 B．2 C． D． 6． 如果实数x、y满足x2＋y2－6x＋4＝0，那么的最大值是 A． B． C． D． 7． 若角α满足cos(＋α)＝，则＋tanα＝ A． B． C． D． 8． 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是 A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27] 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9． 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6a3＋1a2＝2，则 A．q＝ B．数列{an}有最小项 C．数列{an}为递减数列 D．an＋Sn＝8 10．已知点F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P为C上一动点，则下列说法正确的是 A．双曲线C与双曲线－＝1有相同的渐近线 B．若|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为12＋2 C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2 D．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈(－，) 11．已知函数f(x)＝＋，则 A．f(x)的图象关于点(，0)对称 B．f(x)的最小正周期为2π C．f(x)在区间(，π)上单调递减 D．当x∈(0，)，f(x)的最小值为2 三､填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知 x＋＝2 ，则|x－|＋x3＋＝ ． 13．3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为X，则3X＋2的方差为 ． 14．已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)，点A是C1与C2在第一象限的交点，B是C1的左顶点，直线AB交C2于点D，若点D恰为线段AB的中点，则p2的值为 ． 四､解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2＋kn＋k． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn． 16．(15分)△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，acosB＝，bsinA＝1． (1)求∠B的大小； (2)若b＝，求△ABC的面积． 17．(15分)如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝DB＝DC＝2，M是线段AD的中点，P是线段BM的中点，点Q在线段AC上，且AC＝4QC． (1)求证：PQ//平面BCD； (2)若点G在平面ABC内，且DG⊥平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值． 18．(17分)已知双曲线W：－＝1的离心率为，且经过点(4，)． (1)求W的方程； (2)已知M(1，0)，若垂直于x轴的直线与W相交于A，B两点，直线AM和W的另外一个交点为C． (i)求证：直线BC过定点G； (ii)过点G作直线l交W的右支于E，F两点，求△MEF的面积的最小值． 19．(17分)已知函数f(x)＝ln(2x＋m)＋x2(m∈R)． (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求切点的坐标； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)当m＝2，x∈(0，)时，求证：f(x)＜sinx＋x2＋1． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $数学月考答案 2025/9/10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.i是虚数单位，复数1+31 1+2i A.1+i B.5+5i C.-5-5i D.-1-i 【答案】A 【解析】根据题意，由于1+31_二1+3×1一215+51=1十i,故选A. 1+2i1+2i1-2i5 2.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小 个频率/组距 时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间 0.16 的范围是17.5,30]，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)， 22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 0.04 0.02 017.52022.52527.530自时间/小时 A.56 B.60 C.140 【答案】C 【解析】由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16十0.08十0.04×2.5=0.7，故自 习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200=140，故选C. 3.已知adl0g169=1,则3a= A.16 B.16 C.4 D.1 4 【答案】D 0g16910g9=log16=log,42=log4,所以3a=3g 1 【解析】因为alog169=1,所以a= 1og916 =3be7=41=1.故选D. 4 4.已知正整数n满足C%=A品，则n= A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】C 【解析】C=A即为C3=A,所以0+1m0-1)=0-1),n是正整数且n≥2，因此 6 解得n=5,故选C. 5.己知a=(一3,4)，b=(2,一1)，则a在b上的投影向量的模为 A.2 B.2V5 C.5 D.2 5 【答案】B 【解析】a=(-3,4),b=(2,-1),,所以mb=(-3)×2+4×(-1)=-10,|b=V22+(-1)月 =V5,则a在b上的投影向量为hb=-10=-2b=-22,-1)=(-4,2),其 1b1b5 模为V(-4)2+22=2V5,故选B. 6.如果实数x、y满足x2+y2-6x十4=0，那么y的最大值是 x十2 A.5 B.25 C.5 D.1 5 5 2 【答案】D 【解析】将x,y满足的方程转化为(x一3)2十y2=5,发现其是一个圆心在(3,0)，半径为V5的 试卷第1页，共11页 圆，而)。=y一0可看作是圆上一点k,)与（一2,0所在直线的斜率，易知当与圆 "x+2x-(-2) 相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为a0<a<乃，则sina 2 5 5由同角的三角函数关系可得tma=, 即斜率最大为所以的最 3-(-2)5 x+2 大值为 .故选D. 7.若角a满足cos+o=则L十tama= 4 3 tana A.7 B. c.18 D.7 9 7 7 18 【答案】C 【解析】因为cos(+a①=cos sa-sn=2coa-s.cos+0=所以2coa 3 sina)= 3 故cosa-sina2,两边平方，可得cos2a一2 cosasina-十sim'a= 又cos2a +sin2a=1,所以2 sinacosa=',因为 9 1 +tana- _cosa sina cos2a+sin2a 1 tana sina cosa sinacosa sina cosa 所以a十tma18放选C tang 8.已知正四棱锥的侧棱长为1，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且 3≤1≤31V3,则该正四棱锥体积的取值范围是 A18,8头 B子 c D.[18,27刀 【答案】C 【解析】，球的体积为36π，所以球的半径R=3, 方法一（导数法）设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,则P= 2a2+,32=2m2+(3-)2,所以6h=P,2㎡=1P-.所以正 四棱锥的体积r×4×=X心-6× 3 366903G) h: R 所jn--224.5.当ss26t,”心0出 2a 26<1≤33时，V<0,所以当1=2V6时，正四棱锥的体积V 2a 取最大值，最大值为又1=3时，平=33时， 3 4 厮以正四棱锥的体积V的最小值为所以该正四棱锥体积的取值范围是[】]·数 选C, 方法二（墓本不等式法）由方法一故所以”膏动一h和2 0XhX2-20十三6档议当=4取到当年时，得a则 3 3 3 上2h-12?X3-名：当=33时，球心在正四棱锥高线上，此时h=3+3=9, 2 -2 2正四棱锥体积=}4h V2._31V331V3 →1= 22 1332×981<64,故该正四棱锥体积 3312243 的取值范围是27,64 4’3 试卷第2页，共11页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 己知正项等比数列{a}的前n项和为S,若S=6a十1=2，则 A.g月 B.数列{a}有最小项 C.数列{a}为递减数列 D.dn+S=8 【答案】ACD 【解析】设正项等比数列{a}公比为q(g>0), a1=4 a1=-5 4q=2 对于A,由题意得 a+ag+ag2=6ag+1'结合q>0,解得 g=或 2 舍 故A正确： 对于B和C,a,=4X1-=2,故数列{a}为递减数列，无最小项，故B错误，C 正确： 4×[1-( 对于D,S 8-2n+3,则a,十Sn=23十8一23m=8,故D正确， 故选：ACD, 10.已知点、分别为双曲线C:2_”=1的左、右焦点，点P为C上一动点，则下列 42 说法正确的是 A.双曲线C与双曲线”_=1有相同的渐近线 24 B.若|PF1=2|PF2,则△PF1F2的周长为12+2V6 C.若PF11PF2,则△PFF2的面积为2V3 D,若直线1与双曲线C的两支各有一个交点，则直线1的斜率(-？) 【答案】AB 【解析】对于A双曲线C号1，则a=2,b=2,放新近线方程为=士片，即) =主2，双曲线兴_=1，a=2,b=2,故渐近线方程为y=士%，即y=±3，A 2 24 b' 2 正确： 对于B,由题意得，c=Va+b2=V6,|F1F2=2V6,由双曲线的定义得，川PF-PF2 =2a=4,,|PF1=2|PF2|,∴.|PF1=8,PF2=4,故△PFF2的周长为12+2V6, B正确； 对于C,对称性不妨设P在右支上，设PF2=t,则PF1=4十t,|FF2=2W6, 因为PF1⊥PF,所以t+4)2+t2=24,解得t=2V2-2或t=-2V2-2(舍去)， 所以△Pr,E的面积为P1川PR=14+0t=1(2V2+2)×(2N2-2)=2,故C错误： 2】 对于D,若直线1与双曲线C的两支各有一个交点，则直线1的斜率必须介于两条渐近 线的斜率之间，即4E(一子予D错误 故选AB. 试卷第3页，共11页 11.已知函数)=1十1 ,则 sinx cosw A.心的图象关于点（平。 对称 B.x)的最小正周期为2π C.在区间 ,上单调递减 D.当xE(0,,w)的最小值为22 【答案】ABD 【解析】对于A,)+3π-)=1十1十 1 1 一十 =1十1十 2 sins cosx sin()cos()sinx coscosx 2 2 1=0,故函数)的图象关于点死，0)对称，A正确： -si 4 对于B,由2元+)=2T+十cos2+x)sinx cosx三，得2π是)的周期，且 函数y=sinx,y=cosx的最小正周期均为2L,因此x)的最小正周期为2，B正确； 对于C,函数y=在区间（一o,0),(0,十o)上单调递减，且函数y=cosx与y=sinx 在区间0上均单调递减，则函数)=心与y=在区间(G四上均单调递增，因 COSx sinx 此)在区间(，四上单调递增，C错误： 2 对于D,当x∈(0，时，0<sinx<1,0<cosx<1,则[]=(1十1y=1,+1 sinx cosx sinx cos2x 2 2+cosx sinxcosx+sinx)+cos'x.sin cosx sinx8 sinxcosx sinx cosx SIx COSx sin2x cos2x sinx cosx 且仅当cor-mrx=co=2时取等号，因此w)≥2V2,D正确. sinx cosx 21 故选ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知x+1=22,则x-1+x3+1 1” x3- 【答案】2+10N2 【解折】因为x+↓22，所以+少=2+2+8，即48-2=6.《-=父 -2x1+上=-2+14，则k-=2.又2x++2-x1+=+ xx2 x2 x3 -1+=22×(6-1)=22×5=10N2.故1x-1+x+1=2+102. x2 x3 13.3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为X,则3X+2的方差 为 【答案】18 【解析】由题意，X清足超九阿分布，且X的取值为0,1,2，则心=0)一C-5 =-0图；rgg00X+X号2X1200-y 5 5 5 xa-+000x1×g2X1,wx0-+xa-t5xe 5 5 5 =号所以D3x+)=3D0=9×号1 55 试卷第4页，共11页 14.已知椭圆C:父+2=1，抛物线C:2=20>0,点A是C与C在第一象限的交 ，B是C的左顶点，直线AB交C2于点D,若点D恰为线段AB的中点，则p的值 为 答案】102-14 【解析】易知B(-2,0,设A,5,x0>0,如下图所示：因为点D为线段4B的中点， 2D 可得D二3,5，且D在C上，即43=2p6解得0=202-1)，又4o,6, 24p 2 Ap 2p 6>0在上，明+=1解异广-日兰因为02-y8-2 42p 所以p=-,=-166=229=102-14. x6-443-2V2)-4 B 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.己知等差数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=3n2+1十k. (1)求{a4}的通项公式： (2)若b.=1,求数列{b,}的前n项和T anCln+1 解(1)方法1：当n=1时，a=S=3+2k, …2分 当n≥2时，a=Sn-Sm-1=3n2+2十k-[3(n-1)2+kn-1)+=6-3+k, …5分 因为数列{an}为等差数列，且a3一a2=6,所以数列{an}的公差为6， 所以2-6=a1,即6×2-3+k-6=3十2k, 所以k=0,故☑=3，…7分 所以a,=十6-1)=6n-3.…8分 方法2：因为数列{a}为等差数列，设其公差为d, 当n=1时，m=S=3十2k,。 2分 则&=a+,1Da=g2+a-3n=+6+2k-n 2 2 2 2 又Sn=3n2+a十k, d3, 所以3十2k-=k,解得d=6,k=0.…7分 2 k=0 所以☑=山十6(01-1)=61-3.…8分 试卷第5页，共11页 方法3：当n=1时，☑山=S=3十2k,…2分 当n=2时，a=S2-S=9+k, 当n=3时，as=S一S2=15+k, 由于数列{an}为等差数列，所以2a=4十a3, 即2(9十)=3十2k十15十k,解得k=0,…5分 所以数列{a)的首项为3，公差为6， 所以a=十6(-1)=6-3.… …7分 经检验，符合题意。。 …8分 (2)因为b=1 1 111 …10分 ama+1(6n-3)(6n+3)182n-121+1 1一1 2n-12n+1 1 …13分 16.△ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,acosB=V3,bsinA=1. (1)求∠B的大小： (2)若b=1V2,求△ABC的面积. 解)由正弦定理a=b,得bsind=-asinB,所以asinB=-1, sinA sinB 又aosB=V3,两式相除得tanB= 3 …3分 又B∈(0，四，所以B=T …4分 6 (②)方法一：由(1)知B=兀，代入0sB=3得a=2,…6分 6 由余弦定理b2=d+c2-2 ac-cosB得2=4+c2-2V3c, C2-2V3C十2=0得c=V3+1或c=V3-1.…9分 ①当c=V3十1时，SA8c= ac'sinB=V3+1 1 …12分 2 ②当c=\3-1时，Suae=o sin=3-1 …15分 方法二：b=2代入bsm4=1得sim4=Y2 …6分 因为a>b,所以A>B,4=或A=3π ①A=乃时，C=π-π-π-7π 。。。。。。。。。。。。。 …8分 4 °4612 sinC=sin 12 34 34 34 =-3×2l×26+2 22224 -lab-sinC-Ix2xV2xV6+V2-V3+I SMABC …11分 2 4 2 试卷第6页，共11页 ②A=3时，C=-3沉_= …13分 4612 34 34 =3×V2_1×12=V6-V2 22224 Suoo-jab-simc-1x2xV2xV6-V2_V3-1 …15分 2 2 4 2 17.如图，在四面体ABCD中，DA,DB,DC两两垂直，DA=DB=DC=2,M是线段AD 的中点，P是线段BM的中点，点Q在线段AC上，且AC=4QC. (I)求证：PQ∥平面BCD: (2)若点G在平面ABC内，且DG⊥平面BMC,求直线MG与平面 ABC所成角的正弦值. 解(I)作PE⊥BD,交BD于点E,作QF⊥CD,交CD于点F, 因为M是线段AD的中点，P是线段BM的中点，AD⊥BD, 所以PEIIAD且PE=1AD, 41 A0=30C,ADLCD,所以OAD且OF=D, ∴.PE/OF且PE=OF,所以四边形EFOP为平行四边形， .PQ/EF,… …4分 又POa平面BCD,EFC平面BCD, .PO/平面BCD:… 6分 (2)如图，以{DB,DC,DA}为基底，建立空间直角坐标系， 不妨设DA=DB=DC=2,则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,1), 设Gx,y,z),则AB=(2,0,-2),AC=(0,2,-2), AG=(x,y,z-2), G∈平面ABC,可设AG=AB十uAC,1,uER, 即(x,y,z-2)=(21,2,-21-20), G 「x=21 则y=2，即G(21,24,2-21-20, z=2-21-2u 则DG=(21,2,2-21-20, ,DG⊥平面BMC,又BC=(-2,2,0),MC=(0,2,-1), ∴.BC.DG=MCDG=0, -42+4u=0 6u十2-2=0解得1=u=4 1 所以点G坐标为 11,1) … …10分 22 -是 设平面ABC的法向量为n=(a,b,c), 试卷第7页，共11页 n:AB =2a-2c=0 则 令a=1,则b=c=1,得n=(1,1,1),…12分 n:AC=2b-2c=0 nMG 所以|cos<h,MG>= V6 In MG 2x33 故直线MG与平面ABC所成角的正弦值为6 …15分 18.已知双曲线所：上1的离心率为5 且经过点(4，V3) 2b2 (1)求W的方程； (2)已知M(1,O),若垂直于x轴的直线与W相交于A,B两点，直线AM和W的另外 一个交点为C ()求证：直线BC过定点G ()过点G作直线I交W的右支于E,F两点，求△MEF的面积的最小值， 解（①因为双曲线w:Y1的离心率为2，所以三，是所以c=15 5a,b=1a, a2 b2 a 2 2 2 所以m的方程为4少=1，代入点4,3)，解得a2=4, a a2 所以W的方程为-y21;……2分 (2)(①方法一：设B(x1,y),C(x2,y2),则A(x1,一y1), 因为A,M,C三点共线，所以-=归 …4分 x1-1x2-1 当BC∥x轴时，A,M,C三点不共线，所以BC斜率不为O, 设BC的方程为x=y十n. (x=ty+n 4=1得-42+2+-4=0， 联立双曲线2 所以△=4t2-4t2-4)m2-4)>0, +y2=-2t 2一4 f-42= …6分 t-4 又-，=”，所以，”，十，”，=0， x1-1x2-1y1+n-1y2+n-1 即2yy2+(-1)0y1+y2)=0, 2x-40-1)2=0,化简得20n-4)=0 2-4 -4 显然，t≠0，所以n=4,直线BC恒经过定点(4,0). ……… …10分 方法二：设A(x1,y),C(x2,),则Bx1,一y),直线AMy=k一1)， y=k(x-1) 联立双曲线-y=1,得1-4k2+8kx一4-4=0， 4 △=644+16(1+k(1-4k2)=16-48k2>0, 8k2 且x1+=4k-1 42+4 X12= …4分 42-1 由kc士y,则直线BC:y十n=h+K一， X2一x1 X2一X1 试卷第8页，共11页 整理得y+nx-+业=，1[02十nx-十n], …6分 2一x1X2一x12一x1 又n+2=+二2k=4”1 +w=22一k1+x)4g 2k yGe一4-D一)显然直线C过定点G4.0,得证：…10分 (由直线1过点G(4,0),与双曲线右支交于E,F,故斜率必不为0， 可设人1=咖+4,6以，以联立双曲线=1， 整理得0m2-4)y2+8y+12=0,△=64m2-48(m2-4)>0, 则 12 -4 ,1与W的右支交于两点，其中一条渐近线的斜 率为好所子 M m 2 ∴.m2∈[0,4). SaM8=1lMG·3-4|=3 64m248 2 2V(0m2-4)2m2-4 3 16(m2+12)=6 m2+12 2V0m2-4)2 (P-4)2 1 令t=m2+12∈[12,16)，则SBr=6 t V-1626 t+256-32 …15分 令0=什29则0=1-250， ÷H0=1+256在12,16上单调递减，则H0=100,此时1=12，即m=0, 31 .△MEF的面积的最小值为33.… …17分 试卷第9页，共11页 19.已知函数f)=n(2x+m+2(0mER). (1)若曲线y=fx)在x=1处的切线的斜率为2，求切点的坐标； (2)讨论函数w)的单调性： 3)当m=2,x∈(0，时，求证：)<simx+1x2+1. 2 解迪于0X,所以0,2中1=2，所m0 2+L 所以L)=1n2+所以切点的坐标为1，n2+ …2分 （②倒函数和0的定义域为（分十四以.4分 m2m _2x2+x+2 2x十m ()当△=m2-16≤0，即-4≤m≤4时，fx)≥0.…5分 (i)当△=m2-16>0,即m<-4,或m>4时， 方程2x2+m+2=0的两根为x1:=一m肚个-16 4 方法1： ①当m>4时，由于-m=1m-16-(-%=m=\m-16>0, 4 2 4 所以-M<-m-1m2-16<-m+m2-16 2 4 4 令f0>0,解得0<<-m-m2-16,或>-m+m2-16 4 4 令e<0,解得-m-1m-16<x<-m+1m2-16; …7分 4 4 ②当m<-4时，由于-m+1m-16-(-码=m+m2-16<0, 4 所以一m=1m2-16-m+m-16_m 4 4 2 令fw>0,解得x>-m. …9分 21 (方法二： 设<，由于十=一受=，所以 ①当m>4时，<<0，从而-(-2=->0： ②当m<-4时，0<1<，从面名-（登-一<0： 下同解法一.) m≤4时在(m十∞)上单调递增，当m>4时，)在( 2 和(m+hm-16,十∞)上单调递增，在(m-mr-16,一m+m-1S上单调递 4 4 4 减。…10分 试卷第10页，共11页