23.3 第3课时 利用两边和一夹角、三边判定两个三角形相似（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（华东师大版）

第23章 图形的相似 23.3 相似三角形 第 3 课时 利用两边和一夹角、三边判定两个三角形相似 优翼数学教学课件（HS）九上 问题1 两个三角形全等有哪些判定方法？ 问题2 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ 观察与思考 导入新课 如下图画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍， 度量这两个三角形的对应角， 它们相等吗？这两个三角形 相似吗？ E 解：相等，因而相似. 利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 C B A F 新课讲授 如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 证明： 在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. B A C D E B' A' C' ∵ A′D=AB， ∴ 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 如果两个三角形两边成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量. A B C D E F 不相似 探究归纳 归纳： 如果两个三角形两边对应成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似. 注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.  如图，△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. ∴△ABC∽△ADE. 练一练 证明： 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长． A B C D 解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ， ∴ 又∵∠B =∠ACD， ∴ △ABC ∽ △DCA， ∴ ， ∴ 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两 个三角形是否相似？ 利用三边对应成比例判定两个三角形相似 合作探究 A B C C′ B′ A′ ∴ DE =B′C′，EA = C′A′. ∴△ADE ≌ △A′B′C′ △A′B′C′ ∽ △ABC. ∴ ， . 又 ，AD = A′B′， ∴ ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E. 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′， C′ B′ A′ B C A D E △ABC∽△A′B′C′ 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简单地说：三边对应成比例，两个三角形相似. A B C C′ B′ A′ 归纳总结 利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 1.如图，已知 ，试说明∠BAD =∠CAE. 解：∵ ， ∴△ABC∽△ADE . ∴∠BAC =∠DAE . ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC， 即∠BAD =∠CAE . 练一练 A D C E B 2. 已知 AB = 10，BC = 8 ，AC = 16，A′B′ = 16，B′C′ = 12.8， C′A′ = 25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 方法归纳 1.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由. ∠A = 120°，AB = 3 cm，AC = 6 cm，∠A′ = 120°，A′B′ = 6 cm，A′C′ = 12 cm. ∴A′B′ : AB = A′C′ : AC，∠A =∠A′， ∴△A′B′C′∽△ABC 解：∵A′B′ : AB = 2，A′C′ : AC = 2，∠A =∠A′ = 120°. 当堂练习 (2) AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm，A′B′ = 12cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 21 cm 2. 判断图中△AEB 和△FEC 是否相似？ 解：∵ ∴△AEB∽△FEC. ∵∠1＝∠2， ∴ 54 30 36 45 E A F C B 1 2 ( ( 相似三角形的判定定理3:如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简单地说:三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形的判定定理: 相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理2:如果两个三角形两边对应成比例，两条对应边的夹角相等，那么两个三角形相似. 注意:对应相等的角一定要是两条对应边的夹角. 课堂小结 $