第22章 一元二次方程 复习和小结（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（华东师大版）

复习和小结 第22章 一元二次方程 优翼数学教学课件（HS）九上 一、本章知识结构图 实际问题 实际问题的答案 数学问题 数学问题的解 一元二次方程的根 设未知数 列方程 检 验 解 方 程 配方法 公式法 分解因式法 知识架构 1.比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你能写出各种方程的一般形式吗？ 所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程． 二、回顾与思考 一元一次方程的未知数的个数为 1 个，次数为 1 ． 一元二次方程的未知数的个数为 1 个，次数为 2 ． 二元一次方程的未知数的个数为 2 个，次数为 1． 一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0 ( a ≠ 0 ) 一元二次方程的一般形式为：ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 二元一次方程的一般形式为：ax + by = 0 ( a ≠ 0，b ≠ 0 ) 2.一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？体会降次在解一元二次方程中的作用． 配方法、公式法和因式分解法． 配方法、公式法适用于所有的一元二次方程 因式分解法适用于某些一元二次方程 3.求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方程有实数根？ 求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，都可以通过配方转化为 当 b2－4ac≥0 时，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )有实数根． 1.若 (a - 3)xa² - 7 + 4x + 5 = 0 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值为(　　) A. 3　　　B. - 3　　　C. ±3　　　D. 无法确定 【自主解答】选 B.因为方程是关于 x 的一元二次方程，所以 a2 - 7 = 2，且 a - 3 ≠ 0，解得 a = - 3. 一元二次方程及根的有关概念 B 考点分类 2.下列方程中，一定是一元二次方程的是(　　) A. ax2 + bx + c = 0　 B. C. 　 D. 【解析】选 B. A 中的二次项系数缺少不等于 0 的条件，C 中含有两个未知数，D 中的方程不是整式方程. B 解方程 x2 - 2x - 1 = 0. 【自主解答】移项得 x2 - 2x = 1，配方得 x2 - 2x + 1 = 2，即 (x - 1)2 = 2， 开方得 x - 1 = ± ， x = 1± ，所以 x1 = 1 + ， x2 = 1 - . 一元二次方程的解法 用适当方法解下列方程. （5） （1） （2） （4） （3） （直接开方法） （配方法） （因式分解法） （公式法） （因式分解法） x1 = x2 = 1 x1 = -1，x2 = 5 x1 = 0， x2 = 若 5k + 20＜0，则关于 x 的一元二次方程 x2 + 4x - k = 0的根的情况是(　　) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【自主解答】选 A. Δ =16 + 4k = (5k + 20)， ∵5k + 20＜0，∴Δ＜0，∴没有实数根. A 根的判别式及根与系数的关系 已知一元二次方程：①x2 + 2x + 3 =0，②x2 - 2x - 3 = 0，下列说法正确的是(　　) A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C.①②都无实数解 D.①有实数解，②无实数解 【解析】选 B.一元二次方程①的判别式的值为 Δ = b2 - 4ac = 4 - 12= - 8＜0，所以方程无实数根；一元二次方程②的判别式的值为 Δ = b2 - 4ac = 4 + 12 = 16＞0，所以方程有两个不相等的实数根. B 关于 x 的方程 ax2 - (3a + 1)x + 2(a + 1) = 0 有两个不相等的实根 x1，x2，且有 x1 - x1x2 + x2 = 1 - a，则 a 的值是(　) A.1　 B. - 1　 C.1或 - 1　 D.2 【解析】选 B.由题意得 x1+ x2 = ， x1x2= ，因为 x1 - x1x2 + x2 = 1 - a，所以 解得 a1 = 1，a2 = - 1.当 a = 1 时，原方程有两个相等的实数根，不合题意，舍去.所以 a = -1. B 某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 A，B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程 l (cm) 与时间 t (s) 满足关系：l = t2 + t (t≥0)，乙以 4 cm/s 的速度匀速运动，半圆的长度为 21 cm. 一元二次方程的应用 (1)甲运动 4 s 后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 【自主解答】(1)当 t = 4 时，l = ×42 + ×4 = 14 (cm). 答:甲运动 4 s 后的路程是 14 cm. (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (2)设它们运动了 m s 后第一次相遇，根据题意，得： + 4m = 21， 解得 m1 = -14 (不合题意，舍去)，m2 = 3. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3 s. (3)设它们运动了 n s 后第二次相遇，根据题意，得： + 4n = 21×3， 解得 n1 = -18(不合题意，舍去)，n2 = 7. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7 s. (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1. 审 — — 审清题意，找出等量关系. 2. 设 — — 直接设未知数或间接设未知数. 3. 列 — — 根据等量关系列出一元二次方程. 4. 解 — — 解方程，得出未知数的值. 5. 验 — — 既要检验是否是所列方程的解，又要检验是否符合实际情况. 6. 答 — — 完整地写出答案，注意单位. 为响应“美丽广西清洁乡村”的号召，某校开展“美丽广西清洁校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为 498 m2，绿化 150 m2 后，为了更快地完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2 倍.结果一共用 20 天完成了该项绿化工作. (1)该项绿化工作原计划每天完成多少 m2？(2)在绿化工作中有一块面积为 170 m2 的矩形场地，矩形的长比宽的 2 倍少 3 m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？ 【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成 x m2，则提高工作量后每天完成 1.2x m2，根据题意，得 ，解得 x = 22. 经检验，x = 22 是原方程的根. 答：该项绿化工作原计划每天完成 22 m2. (1)该项绿化工作原计划每天完成多少 m2？ (2)设矩形宽为 y m，则长为 (2y - 3) m，根据题意， 得 y(2y - 3) = 170， 解得 y = - 8.5 (不合题意，舍去) 或 y = 10. 2y - 3 = 17. 答：这块矩形场地的长为 17 m，宽为 10 m. (2)在绿化工作中有一块面积为 170 m2 的矩形场地，矩形的长比宽的 2 倍少 3 m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？ 实际问题 实际问题的答案 数学问题 数学问题的解 一元二次方程的根 设未知数 列方程 检 验 解 方 程 配方法 公式法 分解因式法 复习归纳 (1)直接开平方法 x2 = b(b≥0) (2)因式分解法 1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式 (3) 配方法 (4)公式法 一元二次方程的解法 适应于任何一个一元二次方程 适应于任何一个一元二次方程 适应于左边能分解为两个因式的积，右边是 0 的方程 当 b2 - 4ac≥0 时 适应于没有一次 项的一元二次方程 当二次项系数为 1 的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方 当 b2 - 4ac＜0 时，方程没有实数根 见教材章末复习题 课后作业 $