22.3 第2课时 利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（华东师大版）

第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 第 2 课时 利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 优翼数学教学课件（HS）九上 回顾与思考 问题1 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意哪些？ 问题2 生活中还有哪类问题可以用一元二次方程解决？ 导入新课 问题1 　思考，并填空： 　1.某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 60 000 kg，第二年的产量为_____________ kg，第三年的产量为______________ kg． 60000(1 + x) 利用一元二次方程解决平均变化率问题 问题引导 60000(1 + x)2 新课讲授 　2.某糖厂 2021 年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2022 年的产量将是_________．2023 年的产量将是_________． a(1 - x) 　问题2　你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后： 变化后的量 = 变化前的量 a(1 - x)2 ×(1 ± x)2 　问题3　两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 　　乙种药品成本的年平均下降额为 　　　(6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）． 　　甲种药品成本的年平均下降额为 　　　(5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元）. 　　解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x. 解方程，得 x1 ≈ 1.775(舍)， x2 ≈ 0.225． 　根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225．所以甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5％． 　　一年后甲种药品成本为 5000(1 - x) 元， 　　两年后甲种药品成本为 5000(1 - x)2 元． 列方程得 5000(1 - x)2 =3000． 6 6 　　解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 6000(1 - y)2 = 3600 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225. 　　两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大． 解方程，得 y1 ≈ 1.775(舍)， y2 ≈ 0.225． 7 7 　　问题4 　你能概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？ 　　“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系． 归纳小结 例：山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 kg.后来经市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售量可增加 20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利 2240 元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 利用一元二次方程解决利润问题 典例精析 【解析】 (1)设每千克核桃降价 x 元，利用销售量×每件利润＝2240 元列出方程求解即可； (2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售． 解：（1）设每千克核桃应降价 x 元，根据题意，得 化简，得 x2 - 10x + 24 = 0， 解得 x1 = 4，x2 = 6. 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元； （2）由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元， 此时，售价为 60 - 6 = 54 (元)，54÷60 = 90％. 答：该店应按原售价的九折出售. 1.商场某种商品的进价为每件 100 元，当售价定为每件150 元时平均每天可销售 30 件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元(x 为整数)．据此规律，请回答： (1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含 x 的代数式表示)； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？ 2x (50－x) 当堂练习 解：(2)设每件商品降价 x 元时，商场日盈利可达到2100 元．根据题意，得 (50－x)(30＋2x)＝2 100， 化简，得 x2－35x＋300＝0， 解得 x1＝15，x2＝20. 答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价 15 元或 20 元时，商场日盈利可达到 2 100 元． 2.地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100元． (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款的增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 解：(1)设捐款增长率为 x，则依题意列方程 10 000(1＋x)2＝12 100，解方程，得 x1＝－2.1(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10％． 答：捐款的增长率为 10％； (2)12 100×(1＋10％)＝13 310(元)． 答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款 13 310元． 1. 用一元二次方程解变化率问题 规律： 变化前数量×(1±平均变化率)变化次数＝变化后数量． 注意： 有关变化率的问题，都可以根据以上规律列方程求解．在实际问题的求解过程中，要注意方程的根与实际问题的合理性检验． 课堂小结 2．利润问题 基本关系：(1)利润＝售价－________； (2)利润率＝ ×100％ (3)总利润＝____________×销量 进价 单个利润 课堂小结 $