22.2 第5课时 一元二次方程的根与系数的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（华东师大版）

第 22 章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第 5 课时 一元二次方程的根与系数的关系 优翼数学教学课件（HS）九上 2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？ 1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？ 知识回顾 导入新课 方程 x1 x2 x1 + x2 x1∙x2 x2 - 3x + 2 = 0 x2 - 2x - 3 = 0 x2 - 5x + 4 = 0 问题：你发现这些一元二次方程的两根 x1+ x2， x1 • x2 与对应的一元二次方程的系数有什么关系？ 2 1 3 2 - 1 3 2 - 3 1 4 5 4 一元二次方程的根与系数的关系 新课讲授 方 程 - 2 x1 + x2，x1∙x2 与对应的一元二次方程的系数有什么关系？ 猜想：当二次项系数为 1 时，方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1， x2. 9x2 - 6x + 1 = 0 3x2 - 4x - 1 = 0 3x2 + 7x + 2 = 0 如果 ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是常数，a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，则 b2 - 4ac≥0. 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 猜想 解： 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根是 x1，x2， 那么 （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2 - 4ac≥0. 一、直接运用根与系数的关系 例1 不解方程，求下列方程两根的和与积. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 在使用根与系数的关系时，应注意： （1）不是一般式的要先化成一般式； （2）在使用 时，注意“－ ”不要漏写. 二、求关于两根的代数式的值 例2 设 x1，x2 是方程 2x² + 4x - 3 = 0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. 解:由题意知 三、构造新方程 例3 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 1. 解：(x - 2)(x - 3)=0， x2 - 5x + 6 = 0. 例4 方程 的两根的和为 6，一根为 2，求 p、q 的值. 四、求方程中的待定系数 解：若方程的另一个根为 x1，由题意得 2 + x1 = - p = 6，2x1 = q， 即 x1 = 4，p = - 6，q = 8. 1.关于 x 的方程 有一个正根，一个负根，求 m 的取值范围. 解：由已知得 即 m＞0 m - 1＜0 ∴0＜m＜1 当堂练习 2. 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 5. 解： 5(x - 2)(x - 3) = 0， 5x2 - 25x + 30 = 0. 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 课堂小结 一正根，一负根 Δ ＞0 x1x2＜0 两个正根 Δ ≥0 x1x2＞0 x1+x2＞0 两个负根 Δ ≥0 x1x2＞0 x1+x2＜0 课堂小结 $