21.3 二次根式的加减（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（华东师大版）

第21章 二次根式 21.3 二次根式的加减 优翼数学教学课件（HS）九上 二次根式计算、化简的结果符合什么要求？ （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2 最简二次根式 回顾思考 导入新课 观察下列二次根式有什么共同特征： 每组的二次根式的被开方数相同 同类二次根式 探究归纳 （1） ··· （2） ··· 新课讲授 经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式. 下列根式又有什么共同特征？ （3） ··· (1)说出 的三个同类二次根式； (2)下列各式中哪些是同类二次根式? 答案不唯一，如 先化成最简二次根式，再作判断. 答： 巩固概念 问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？ 7.5 dm 5 dm 二次根式的加减法则及运用 （化成最简二次根式） （逆用分配律） ∴在这块木板上可以截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板． 解：列式如下： 思考:如何合并同类二次根式？ 合并同类二次根式的方法是： （1）化为最简二次根式 （2）系数相加减 （3）二次根式不变 知识要点 二次根式的加减法则 类比合并同类项，说说计算过程有什么规律？ 　　二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. 一化 二找 三合并 例： 计算 提示 按照二次根式的加减法则进行，即先化简，后判定，再合并. 典例精析 解： 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被开方数相同）. 整式的加减的实质是合并同类项． （1） （2） 计算： 　　思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？（2）呢？ 典例精析 二次根式的混合运算方法 　　与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除， 后加减； 　　对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式； 　　对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式． （1） （2） 解： （1） 　　思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式； 　　第二步的依据是：二次根式乘法法则； 　　第三步的依据是：二次根式化简． 解： （2） 　　思考：（2）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是：多项式除以单项式法则； 　　第二步的依据是：二次根式除法法则． 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适用. 平方差公式：(a + b)(a - b) = a2 - b2； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2； (a - b)2 = a2 - 2ab + b2； 完全平方公式 知识要点 1.计算 解： 解： 解题反思：（1）有括号的先去括号再进行运算； （2）被开方数不相同的最简二次根式是不能合并的. 当堂练习 把二次根式看成“项”，（1）、（2）、（3）分别可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多项式÷单项式”、“多项式×多项式”的运算. 2. 计算： （1） （2） （3） 提示 看看和你做的一样吗？ （1） 解： （2） （3） 3. 计算： 用了公式 (a + b)(a - b)=a2 - b2 用了公式 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1.同类二次根式的定义. 2.二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式； (2)把各个同类二次根式合并. 3.如何合并同类二次根式 与合并同类项类似，把同类二次根式的系数相加减，作为结果的系数，根号及根号内部都不变. 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 课堂小结 谈一谈本节课自己的收获和感受？ （1） 以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立； （2）计算结果最后一定要化成最简形式； （3）二次根式的混合运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了数式通性的特点； （4）计算时要做到准确熟练. $