21.1 二次根式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（华东师大版）

该初中数学九上“二次根式”课件，聚焦概念、有意义条件及性质。通过回顾平方根与算术平方根旧知，结合下球体半径、正方形边长等情境，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生抽象出二次根式定义。 其亮点在于以数学眼光观察情境抽象概念，通过典例辨析和性质推导培养数学思维的推理能力，用符号精准表述性质体现数学语言严谨性。课堂小结系统梳理定义与性质，学生能提升抽象与应用能力，教师可直接采用实例与流程优化教学。

第21章 二次根式 21.1 二次根式 优翼数学教学课件（HS）九上 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于 a，则这个数就叫做 a 的平方根. 0 的算术平方根是 0. a 的平方根是 . 用　 (a≥0)表示. 观察与思考 导入新课 正数有两个平方根且互为相反数； 0 有一个平方根就是 0； 负数没有平方根. 问题3 平方根的性质： 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和 0 都有算术平方根； 负数没有算术平方根. 下球体 S 圆形的下球体在平面图上的面积为 S，则半径为______. 如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是 . b - 3 表示一些正数的算术平方根． 你认为下列各代数式有哪些共同特点？ 二次根式的定义及有意义的条件 新课讲授 归纳总结 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 a ≥0 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“ ”称为二次根号. 注意：a 可以是数，也可以是式. 2. 二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子. 1. 既可表示开方运算，也可表示运算的结果. 请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式 的认识！ 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 4 2 0 1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． 二次根式的性质1及应用 一般地，有性质1. = a (a≥0) 归纳 由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负性的三种表现形式归纳如下：a2，︱a︱， 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. 计算 解： （2）用到了 (ab)2 = a2b2 这个结论. 练一练 类似地，计算： 再计算： 0.5 0 0.5 二次根式的性质2及应用 一般地，有 a -a (a≥0) (a＜0) 归纳 性质2： =∣a∣ 2.从取值范围来看， a≥0 a 取任何实数 1.从运算顺序来看， 先开方，后平方 先平方，后开方 3.从运算结果来看: =a a (a≥0) -a (a＜0) = 知识要点 化简 解： 练一练 解：由 x - 1≥0，得 x≥1 1. 当 x 取何值时， 二次根式有意义? 当 x≥1 时， 在实数范围内有意义. 试求当 x = 5 时，二次根式 的值. 当 x = 5 时， 思考：当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ x 为全体实数. 当堂练习 2.(1)若 ，则 a - b + c =___ ； 解： （1）由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0， 解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3. （2）由题意知 1 - x≥0，且 x - 1≥0，联立解得 x = 1. 从而知 y = 2022， 所以 x + 2y = 1+2×2022 = 4045. （1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值 抓住被开数(或式)必须为非负数，从而建立不等式(或组)求出其解集. 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“ ”称为二次根号.a 叫做被开方数. 课堂小结 二次根式 定义 性质 （a≥0） （即 表示一个非负数） 课堂小结 $