23.1.2 第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦30°、45°、60°角的三角函数值，以“三角尺猜谜”情境导入，衔接锐角三角函数定义，通过合作探究推导特殊角函数值，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察三角尺特性，用几何直观推导函数值培养推理能力，结合秋千摆动等实际问题渗透模型意识。逆向思维训练与分层练习系统，小结表格清晰，助力学生深化理解，便于教师高效教学。

第23章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 2. 30°，45°，60°角的三角函数值 第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值 优翼数学教学课件（HK）九上 猜谜语 一对双胞胎，一个高，一个胖，  3 个头，尖尖角，我们学习少不了 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？ 情境引入 导入新课 45° 45° 90° 60° 30° 90° 思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？ 30°、45°、60°角的三角函数值 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30° 60° 45° 45° 合作探究 新课讲授 设 30° 所对的直角边长为 a，那么斜边长为 2a， 另一条直角边长 = ∴ 30° 60° ∴ 30° 60° 设两条直角边长为 a，则斜边长 = ∴ 45° 45° 30°、45°、60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a 三角 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 归纳： 1 例1 求下列各式的值： 提示：cos260° 表示 (cos 60°)2，即 (cos 60°)×(cos 60°). 解：cos260° + sin260° 典例精析 (1) cos260° + sin260°； (2) 解： (3) 解：原式 (4) 解：原式 练一练 计算： (1) sin 30° + cos 45°； 解：原式 = (2) sin230° + cos230°－tan45°. 解：原式 = 1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系） 2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 . 增大（或减小） 减小（或增大） 两点反思 小试牛刀: 1.如果∠α 是等边三角形的一个内角，则 cos α =____. 2.在 △ABC 中，∠C = 90°，若∠B = 2∠A，则 tan A= 3.若 tan A = 1，则锐角∠A =_____. 45° ____. 5.sin α＜cos α，则锐角 α 取值范围（ ） A. 30°＜α＜45° B. 0°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 0°＜α＜90° B 4.在 Rt△ABC 中，sin B = ，则∠B =_____. 60° 由特殊三角函数值确定锐角度数 填一填 ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= 逆向思维 30° 60° 45° 60° 45° 30° 30° 60° 45° 例2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， 求∠A 的度数． 解： 在图中， A B C 典例精析 ∴∠A = 45°. 解： 在图中， A B O ∴ α = 60°. ∵ tanα = ， 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，求 α 的度数. 练一练 例3：一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60°，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 (结果精确到 0.01 m). 特殊三角函数值的运用 ∴最高位置与最低位置的高度差约为 0.34 m. ∠AOD OD = 2.5 m， A C O B D 解:如图，根据题意可知， ∴AC = 2.5 - 2.165 ≈ 0.34 (m). 例4：已知 α 为锐角，且 tan α 是方程 x2 + 2x - 3 = 0 的一个根，求 2sin2α + cos2α - tan(α + 15°)的值． 解：解方程 x2 + 2x - 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = -3， ∵tan α＞0，∴tan α = 1，∴α = 45°. ∴2sin2α + cos2α - 3tan(α + 15°) = 2sin245°+cos245°- 3 tan 60° 例5：已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tan A)2 ＋ | sin B－ |＝0， ∴ tan A＝1，sin B＝ ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°. ∴ △ABC 是锐角三角形． 练一练 已知 | tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0，求∠A，∠B 的度数. 解：∵ | tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0， ∴ tan B＝ ，sin A＝ ∴ ∠B＝60°，∠A＝60°. 2. 在 △ABC 中，若 ，则∠C=（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 1. tan(α + 20°)＝1，锐角 α 的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° D D 3.已知 cosα ＜ ，锐角 a 取值范围（ ） A．60°＜α＜ 90° B．0°＜α＜ 60° C．30°＜α＜ 90° D．0°＜α＜ 30° A 当堂练习 4.求下列各式的值： （1）1－2sin 30°cos 30° （2）3tan 30°－tan 45°+2sin 60° （3） 解： （1）1－2 sin 30°cos 30° （2）3tan 30°－tan 45°+2sin 60° （3） 5.如图，在 △ABC 中，∠A = 30°， 求 AB. A B C D 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， ∠A = 30°， 6. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， 求∠A、∠B 的度数． B A C 解： 由勾股定理知 ∴ ∠A = 30°， ∠B = 90°－ ∠A = 90°－30°= 60°. 7.升国旗时，小明站在操场上离国旗 20 m 处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为 45°(如图所示)，若小明双眼离地面 1.60 m，你能帮助小明求出旗杆 AB 的高度吗？ D A B E 1.6 m 20 m 45° C =20 + 1.6 = 21.6（m）. ) 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 三角 函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 当 α 为锐角时，对于 sin α 与 tan α，角度越大，函数值也越大；对于 cos α，角度越大，函数值越小. 课堂小结 $