21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象绘制、性质（k>0/k<0时的象限分布与增减性）及k的几何意义，通过复习已学函数图象画法导入，引导学生尝试绘制反比例函数图象，搭建新旧知识桥梁，帮助学生从已知过渡到未知。 其亮点在于采用合作探究从特殊到一般研究性质，如先画y=6/x等具体函数图象归纳k>0性质，类比研究k<0情况，培养推理意识与抽象能力。k的几何意义通过计算矩形面积猜想证明S=|k|，结合几何直观发展空间观念。练习层次分明，例题典型，学生能深化理解，教师可高效教学。

第2课时 反比例函数的图象和性质 第21章 二次函数与反比例函数 21.5 反比例函数 优翼数学教学课件（HK）九上 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？ 复习引入 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 导入新课 2 反比例函数的图象和性质 合作探究 例1 画反比例函数 与 的图象. 提示：画函数的图象步骤一般为： 列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 新课讲授 3 解：列表如下： x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … … … … … -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 -2 -2.4 -3 -4 -6 6 4 3 2.4 2 -12 12 4 -1 -5 -4 -6 O -2 x 1 2 3 4 5 6 -3 5 6 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得函数 　与 的图象. 观察这两个函数图象，回答下列问题： 思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？ 你能由它们的解析式说明原因吗？ (3) 对于反比例函数 (k＞0)， 考虑问题 (1)(2)，你能得出同 样的结论吗？ ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 知识要点 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C A. x y o D. x y o C. x y o y B. x o 练一练 2. 已知反比例函数 的图象过点 (－2，－3)，函 数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与 y2 的大小关系为 ( ) A. y1 ＞ y2 B. y1 = y2 C. y1 ＜ y2 D. 无法确定 C 提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因为 6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分上，根据 ＞5，可知 y1，y2 的大小关系. 类比与思考 当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0) 的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： ●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 知识要点 归纳： (1) 当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 (k ≠ 0) 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数图象的位置和增减性 点 (2，y1) 和 (3，y2) 均在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“＞”“＜”或“=”). ＜ 练一练 14 例2 已知反比例函数 ，且在其图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值. 解：由题意得 a2 + a－7 =－1，且 a－1＜0． 解得 a =－3. 反比例函数的图象和性质的初步运用 练一练 已知反比例函数 的图象在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m2－10 = －1，且 3m－8＞0． 解得 m = 3. 例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限， 所以这个函数的图象位于第一、三象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. (2) 点 B(3，4)，C( ， )，D(2，5) 是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6) 在其图象上，所以有 ，解得 k = 12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以该反比例函数的解析式为 . (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例4 如图是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数图象位于第一、三象限，所以 m－5＞0，解得 m＞5. (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的每一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当 x1＞x2 时， y1＜y2. (1) 如果这个函数图象经过点 (-3,5)，求 k 的值； (2) 如果这个函数图象在它所处的象限内，函数 y 随 x 的增大而减小，求 k 的范围. 例5 已知反比例函数 解：(1) 因为函数图象经过点 (-3，5)，代入函数的表达式，得 . 解得 k = -7. (2) 根据题意，有 2k - 1＞0. 解得 k＞ 反比例函数解析式中 k 的几何意义 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，并填写下页表格： 合作探究 5 1 2 3 4 -1 5 x y O P S1 S2 P (2，2)，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = k -5 -4 -3 -2 1 4 3 2 -3 -2 -4 -5 -1 Q S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 的图象 上也用同样的方法取 P，Q 两 点，并分别向两坐标轴引垂线， 围成面积为 S1，S2 的矩形，填写表格： 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = -k y x O P Q S1 S2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，点 O 为坐标原点，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = |k|. y x O P S 我们就 k＜0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵ 点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab = k. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k. 若点 P 在第二象限，则 a＜0，b＞0. 若点 P 在第四象限，则 a＞0，b＜0. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k. B P A 综上可知， S矩形 AOBP = |k|. 自己尝试证明 k ＞ 0的情况. k＞0 的情况请同学们自行证明！ 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥y 轴于点 A，作 QB ⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 (k ≠ 0)， A B |k| y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 Q A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 ( ) A. SA＞SB＞SC B. SA＜SB＜SC C. SA = SB = SC D. SA＜SC＜SB 1. 如图，在函数 (x＞0) 的图象上有三点 y x O A B C C 练一练 2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . -12 提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0. y x O P A 3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 的任意两点，过 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD，垂足为 D，连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是 S3 S2. 例5 如图，P，C 是函数 (x＞0) 图象上 典例精析 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 练一练 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 ＜ S3 F S1 S2 S3 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1，△BOD 的面积 S2，△POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 ＜ S3 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 B 当堂练习 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是 ( ) O x y A O x y B O x y C O x y D B 3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内， 则 m 的取值范围是________. 4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (-1，12) 和点 (10，-1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于第二、四象限. 其中正确的是 (填序号). (1) (3) m ＞ 2 5. 反比例函数 　　(k＞0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1＞x2＞0，则 y1－y2 0. ＜ 6. 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___. y D B A C x 3 2 5 7. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m2－5 = －1， m＞0， 解得 m = 2. 8. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，-4). (1) 求 k 的值； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2，-4)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 解得 k = -8. (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化? 解：这个函数的图象位于第二、四象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. (3) 画出该函数的图象； O x y 解：如图所示： (4) 点 B (1，-8) ，C (-3，5) 是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上. 解：该反比例函数的解析式为 . 能力提升： 9. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2) 在反比例函数 (k＞0) 的图象上，若 y1＜y2，求 a 的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵ y1＜y2，∴ a－1＞a＋1，无解； ② 当这两点分别位于图象的两支上时， ∵ y1＜y2，∴ 必有 y1＜0＜y2. ∴ a－1＜0，a＋1＞0， 解得－1＜a＜1. 故 a 的取值范围是 －1＜a＜1. $