21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，以实物型抛物线（如拱桥、悬索桥）和运动中的抛物线（如排球、投篮）为核心知识点。通过亚运会情境引入，结合抛物线形拱桥问题，衔接二次函数解析式形式，搭建从建系、确定参数到解决实际问题的学习支架。 其亮点在于注重情境化与建模过程，通过比较不同建系方法培养学生数学思维，结合排球扣球时间、投篮高度等生活化例题发展模型意识。课堂小结系统梳理转化关键，帮助学生用数学眼光观察现实问题，提升应用能力，也为教师提供结构化教学流程和丰富实例，提高教学效率。

第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题 第21章 二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 优翼数学教学课件（HK）九上 情境引入 某校九年级学生小明同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和小明一起逛逛美丽的广州吧！ 导入新课 3 如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系中图象的位置，说出这个二次函数的解析式形式. (1) y = ax2 (2) y = ax2 + k (3) y = a(x + h)2 + k 或 y = ax2 + bx x y O x y O x y O 图(1) 图(2) 图(3) 问题引入 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 利用二次函数解决实物型抛物线问题 合作探究 这是什么样的函数呢？ 你能想出办法解决上面求水面宽的问题吗？ 拱桥的纵截面是抛物线形状，所以应当是个二次函数 建立函数模型 新课讲授 问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图. 问题2 从图象看出，这条抛物线对应什么形式的二次函数呢？ 由于顶点坐标是 (0，0)，因此这个二次函数的形式为 y = ax2. y x x O y -2 2 1 -2 -1 A 问题3 如何确定 a 的值？ 因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 已知水面宽 4 m 时，拱顶离水面高 2 m，因此点 A(2，-2)在抛物线上，由此得出 解得 这条抛物线表示的二次函数为 y = x O y −2 −4 2 1 −2 −1 B 问题4 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 解得 即水面下降 1 m 时，水面宽度增加 我们来比较下面这些建系的方法 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适？为什么？ y y y y o o o o x x x x 知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 例1 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为 0.5 m. 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)， 故可设其对应的函数表达式为 y = ax2 + 0.5. 又抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得 81.5 = a • 4502 + 0.5. 解得 故所求函数表达式为 (1) 若以桥面所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y x O -450 450 81.5 13 (2) 计算距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长. 解：当 x = 450－100 = 350 时，得 当 x = 450－50 = 400 时，得 即距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长分别为 49.5 m、64.5 m. y x O -450 450 81.5 14 解：设该拱桥形成的抛物线的表达式为 y = ax2. 由题意知该抛物线过点 (10，−4)， ∴ −4 = 100a，a = −0.04. ∴ y = −0.04x2. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的表达式. O A B y x 20 m h 练一练 利用二次函数解决抛物线型运动轨迹问题 16 例2 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表达式： 其中 h 是物体上升的高度，v0 是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g 是重力加速度(取 g = 10 m/s2)，t 是物体抛出后经过的时间. 在一次 排球比赛中，排球从靠近地面处 被垫起时竖直向上的初始速度为 10 m/s. 17 (1) 问排球上升的最大高度是多少？ 解：根据题意，得 因为抛物线开口向下，顶点坐标为 (1，5)， 所以排球上升的最大高度为 5 m. 18 (2) 已知某运动员在 2.5 m 高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳 (精确到 0.1 s)？ 解得 排球在上升和下落中，各有一次经过 2.5 m 高度，但第一次经过时离排球被垫起仅有 0.3 s，要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功. 解：当 h = 2.5 m 时，得 答：该运动员应在排球被垫起后 0.3 s 时扣球最佳. 19 例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 解：建立如图的直角坐标系. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 21 设此以 B (0，3.5) 为顶点的抛物线表达式为 y = ax2 + 3.5. 所以该抛物线的表达式为 y = -0.2x2 + 3.5. 当 x = -2.5 时，y = 2.25. 故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m. 而点 A (1.5，3.05) 在这条抛物线上， 所以有 1.52a + 3.5 = 3.05， x y O 解得 a = -0.2. 1. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度 h (m) 可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 来表示，其中 t (s) 表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地. 4 2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y (米)关于水平距离 x (米)的函数表达式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面 的距离为 米. x y O 2 当堂练习 3. 某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( ) A. 50 m B. 100 m C. 160 m D. 200 m C 4. 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少 m 才能使喷出的水流不致落到池外？ 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得 A 点坐标为 (0，1.25)， 顶点 B 坐标为 (1，2.25). 数学化 o ● C ● D x y ● B(1，2.25) (0，1.25) A ● 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)； 同理，点 D 的坐标为 (-2.5，0) . 设 y 轴右侧的抛物线为 y = a(x + h)2 + k，由待定系数法可求得抛物线表达式为 y = -(x - 1)2 + 2.25. ●B(1,2.25) (0,1.25) o A x y ● D ● C 5. 某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为 12 m，抛物线拱高为 5.6 m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式； 解：设抛物线的表达式为 y = ax2 . ∵ 点 B (6，-5.6) 在抛物线上， ∴ -5.6 = 36a， ∴ 抛物线的表达式为 （2）现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在 AB 上，每扇窗户宽 1.5 m，高 1.6 m，相邻窗户之间的间距均为 0.8 m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为 0.8 m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？ 解：设窗户上边所在直线交抛物线于 C，D 两点，D 点坐标为 (k，t)，已知窗户高 1.6 m， ∴ t = -5.6 + 1.6 = -4. ∴              ，解得 k =          ， 即 k1≈5.07，k2≈﹣5.07. ∴ CD≈5.07×2 = 10.14 (m). 设最多可安装 n 扇窗户， 则 1.5n + 0.8(n﹣1) + 0.8×2≤10.14，解得 n≤4.06． 则最大的正整数 n 为 4． 答：最多可安装 4 扇窗户. 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物型抛物线问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂小结 $