21.4 第1课时 二次函数在面积最值中的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦二次函数在面积最值中的应用，通过复习抛物线最值求法（配方法、公式法）及引例（小球运动高度问题）搭建支架，衔接二次函数性质与实际应用，形成从理论到几何面积问题的知识脉络。 其特色在于分层探究二次函数最值决定因素（a的符号、对称轴位置、自变量范围），结合矩形篱笆、靠墙菜园等实例，培养学生几何直观与模型意识，通过“建函数关系式—判范围—求最值”结构化小结，助力学生形成解决问题的推理能力，教师使用可高效落实知识与核心素养目标。

第21章 二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数在面积最值中的应用 优翼数学教学课件（HK）九上 复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. (1) y = x2 − 4x − 5；(配方法) (2) y = −x2 − 3x + 4.(公式法) 解：(1) 开口方向：向上； 对称轴：x = 2； 顶点坐标：(2，−9)； 最小值：−9. (2) 开口方向：向下； 对称轴：x = ； 顶点坐标：( ， )；最大值： . 导入新课 求二次函数的最大（或最小）值 引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m) 与小球的运动时间 t (单位：s) 之间的关系式是 h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)． 小球的运动时间是多少时达到最高？ 小球运动中的最大高度是多少？ t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h = 30t - 5t2 新课讲授 合作探究 问题1 二次函数 取最大值、最小值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围来决定. 问题2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是什么？ 当 a＞0 时，有 ，此时 ； 当 a＜0 时，有 ，此时 . 问题3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值则需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则应根据二次函数的增减性来确定其最值. 小球运动的时间是 3s 时达到最高，最大高度是 45 m． t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h = 30t − 5t2(0≤t≤6) 试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题： ∵ 0≤3≤6， 7 例1 求下列函数的最大值与最小值： x O y 解： -3 1 (1) ∴ 当 时， 当 x = 1 时， 典例精析 解： O x y 1 -3 (2) 而在对称轴的右侧， ∴ 当 x = -3 时，有 函数值 y 随着 x 的增大而减小， 当 x = 1 时，有 方法归纳 当自变量的范围有限制时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值可以根据以下步骤来确定： ① 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴； ② 画出函数图象的草图，标明对称轴及 x 的取值范围； ③ 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系. 根据二次函数的性质，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值. 然后根据 x 的值，求出函数的最值. 二次函数与几何图形面积的最值 典例精析 例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S (m2) 随矩形一边长 l (m) 的变化而变化. 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用 l 表示另一边长？ 问题3 面积 S 的函数关系式是什么？ 矩形面积 = 长×宽 另一边长为 (30 − l) m S = (30−l)l = −l2+30l 问题4 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 解：根据题意得 S = l (30 - l) = -l2 + 30l (0＜l＜30)， 当 时， 有 S最大值 = 也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l/m S/m2 O 变式1 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60 - 2x 问题2 我们可以设面积为 S，如何设自变量？ 问题3 面积 S 的函数关系式是什么？ 问题1 变式 1 与例 2 有什么不同？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450. 设垂直于墙的一边长为 x 米 篱笆长不等于周长 (少了一边) 13 问题4 如何求自变量 x 的取值范围？墙长 32 m 对此题有什么作用？ 问题5 如何求面积 S 的最大值？ 最大值在其图象顶点处， 即当 x = 15 m 时，有 S最大值 = 450 m2. 0＜60－2x≤32，即 14≤x＜30. x x 60 - 2x 变式2 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ x 问题1 变式 2 与变式 1 有什么异同？ 问题2 可否模仿变式 1 设未知数、列函数关系式？ 问题3 可否试设与墙平行的一边长为 x 米？则如何表示另一边长与面积？ 答案：设矩形面积为 S m2，与墙平行的一边为 x 米，则 15 问题4 当 x = 30 时 S 取最大值吗？为什么？ 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18. 问题6 如何求面积最大值？ 由于 30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当 x = 18 m 时，S 有最大值是 378 m2. 不是，未考虑 x 的实际范围. 16 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围确定. 通过变式 1 与变式 2 的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际意义的最值. 方法总结 17 例3 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在水库中围成一块矩形的水面，投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 解：设围成的矩形水面的一边长为 x m，则另一边为 (20 - x) m. 设其面积是 S m2，则 S = x(20 - x). 配方，得 S = -(x - 10)2 + 100 (0＜x＜20). ∴ 其顶点坐标为 (10，100). 其图象如右图所示. ∴ 当 x = 10 时，函数取得最大值，即 S最大值 = 100 m2. 此时，另一边长为 20 - 10 = 10 (m). 答：当围成的矩形水面边长都为 10 m 时，它的面积最大. 5 10 15 20 25 50 75 100 O x y 例4 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材料宽度不计） x 解：设矩形窗框的宽为 x m， 则高为 m. 由于 又 x＞0，故 0＜x＜2. 则矩形窗框的透光面积 y (m2) 与 x 之间的函数关系式是 即 配方得 所以，当 x = 1 时，函数取得最大值，y最大值 = 1.5. 这时， 因此，所做矩形窗框的高为 1.5 m、宽为 1 m 时，它的透光面积最大，最大透光面积是 1.5 m2. 知识要点 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的范围没有限制时，可直接利用公式 求函数最值； 3. 当自变量的范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变 量的范围求函数最值. 22 1. 用一段长为 15 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18 m，则这个矩形菜园的最大面积是________. 当堂练习 23 2. 如图，在 △ABC 中，∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动 (不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 以 4 cm/s 的速度移动 (不与点 C 重合). 如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 秒，四边形 APQC 的面积最小. 3 A B C P Q 解：设一直角边长为 x，则另一直角边长为 (8 - x)， 依题意得 3. 已知直角三角形的两直角边之和为 8，两直角边长分别为多少时，此三角形的面积最大？最大面积是多少？ 当 x = 4 时，S最大值 = 8. 此时 8 - x = 4. ∴ 当两直角边长都为 4 时，此三角形的面积最大， 最大面积为 8. 4. 某小区在一块一边靠墙 (墙长 25 m) 的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住．设绿化带的边长 BC 为 x m，绿化带的面积为 y m2． (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 解：∵ BC = x m， ∴ AB = ∴ y = (2) 当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ ∵ 0＜x≤25， ∴ 当 x = 20 时，绿化带的面积取得最大值，最大值为 200 m2. 5. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为 x (m)，面积为 S (m2). (1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 解：设矩形一边长为 x m，则另一边长为 (6 - x) m. ∴ S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0＜x＜6. 28 解：S = -x2 + 6x = -(x - 3)2 + 9. ∴ 当 x = 3，即矩形的一边长为 3 m 时，矩形的面积最大，为 9 m2. 这时设计费最多，为 9×1000 = 9000（元）. (2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，要根据自变量的范围，利用函数的增减性来确定 课堂小结 $