21.3 第1课时 二次函数与一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 优翼数学教学课件（HK）九上 情境引入 问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系： h = 20t - 5t2. 考虑以下问题： 导入新课 (1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？ h = 20t - 5t2 二次函数与一元二次方程的关系 O h/m t/s 15 1 3 故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m. 解：令 15 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1， t2 = 3. 你能结合上图指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？ 新课讲授 (2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？ O h/m t/s 20 2 解：令 20 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 4 = 0， 解得 t1 = t2 = 2. 故当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m. h = 20t - 5t2 解：令 20.5 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 4.1 = 0， 因为 Δ = (-4)2 - 4×4.1＜0， 所以方程无解. 故小球的飞行高度达不到 20.5 m. (3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ O h/m t/s 你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗? 20.5 h = 20t - 5t2 5 (4) 小球从飞出到落地要用多少时间？ O h/m t/s 令 0 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t = 0， 解得 t1 = 0，t2 = 4. 即当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m. 故小球从飞出到落地要用 4 s 时间. h = 20t - 5t2 解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m， 从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程? 一般地，当因变量 y 取某一个确定值时，二次函数为一元二次方程. 为一个常数 （确定值） 如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c 就是一个一元二次方程. 7 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求对应的自变量 x 的值，可以通过解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）得到． 反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值． 利用二次函数深入探讨一元二次方程 思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当 x 取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y = x2 + x - 2； （2）y = x2 - 6x + 9； （3）y = x2 - x + 1. 9 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与 x 轴交点个数 交点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2 - x + 1 y = x2 - 6x + 9 y = x2 + x - 2 0 个 1 个 2 个 x2 - x + 1 = 0,无解 3 x2-6x+9=0,x1=x2=3 -2，1 x2+x-2=0,x1=-2,x2=1 10 知识要点 二次函数 y = ax2 + bx + c 的 图象与 x 轴交点情况 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 b2 - 4ac 有两个交点(x1,0),(x2,0) 有两个不相等的实数根 x1,x2 b2 - 4ac＞0 b2 - 4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2 - 4ac＜0 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点情况与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 有一个交点 ( ,0) 有两个相等的实数根 x1=x2= 11 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0). (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点； 证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 (m ≠ 0)， ∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0， ∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个实数根. ∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 与 x 轴总有交点. 解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0 或 mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数 m 的值为 1. 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0). (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． 变式：已知抛物线 y＝x2＋ax＋a－2. (1) 求证：不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点； (2) 设这个抛物线与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值． (1) 证明：∵ a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴ 不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点. (2) 解：依题意知 x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴ x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3. ∴ a＝1. 例2 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，此时离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到 3 m？为什么？ 解：令 即 解得 故当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是 1 m 或 5 m. （1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ (2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？ 解：令 即 解得 故当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置的水平距离是 3 m. 解：令 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m. (3) 铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？ 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了. 例3 用图象法求一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的近似解 （精确到 0.1）. 分析：一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的根就是抛物线 y = x² + 2x - 1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解 解：画出函数 y = x² + 2x - 1 的图象 (如图)，由图象可知，方程 x² + 2x - 1 = 0 有两个实数根，一个在 -3 与 -2 之间，另一个在 0 与 1 之间. x y O 先求位于 -3 到 -2 之间的根，由图象可估计这个根是 -2.5 或 -2.4，利用计算器进行探索，见下表： x … -2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04 … 观察上表可以发现，当 x 分别取 -2.5 和 -2.4 时，对应的 y 由正变负，可见在 -2.5 和 -2.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有方程 x2 - 2x -1 = 0 的一个根. 题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -2.5 和 x = -2.4 作为根都符合要求.但当 x = -2.4 时 y 更接近 0，故 x1≈-2.4. 同理可得另一近似根为 x2≈0.4. 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. (1) 用描点法作出二次函数的图象； (2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似根). (3) 确定方程的解. 由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解. 方法归纳 解析：由图象可得该抛物线的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点 到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1. ∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故选 B. 例4 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 B 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 为常数) 的一个解 x 的范围是 ( ) A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1. 根据下列表格的对应值： 当堂练习 26 2. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = . -1 y O x 1 3 3. 一元二次方程 3x2 + x - 10 = 0 的两个根是 x1 = -2，x2 = ，那么二次函数 y = 3x2 + x - 10 与 x 轴的交点坐标是 . (-2，0) 和 ( ，0) 27 4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 的图象位于 (　　) A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限 C. x 轴下方 D. 第二、三、四象限 A 5. 二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 (　　) A. k＜3 B. k＜3 且 k ≠ 0 C. k≤3 D. k≤3 且 k ≠ 0 D 28 6. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次函数． ∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点，∴ k＝3. 当 k ≠ 3 时，y＝(k－3)x2＋2x＋1 是二次函数． ∵ 二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点， ∴ Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0， 即 k≤4 且 k ≠ 3. 综上所述，k 的取值范围是 k≤4. 7. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 米． (1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 解：由题意可知，A (0， )，B (4，4)，C (7，3)，其中点 B 是抛物线的顶点. 设二次函数表达式为 y＝a(x－4)2＋4，将点 A 的坐标代入，可得 a＝－ ，故 y＝－ (x－4)2＋4. 当 x＝7 时，y＝－ (7－4)2＋4＝3， ∴ 点 C (7，3) 在该抛物线上． ∴ 此球能准确投中. (2) 此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否获得成功？ 解：将 x＝1 代入函数关系式，得 y＝3. 因为 3.1＞3， 所以盖帽能获得成功． 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)，当 y 取确定值时就成了一元二次方程；ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，右边换成 y 时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与 x 轴的交点个数 b2 - 4ac 的符号 一元二次方程根的情况 课堂小结 $