21.2.2 第3课时 二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)的图象和性质，通过复习\(y = ax^2\)等基础形式的开口方向、顶点、平移规律，引导学生思考新函数的平移过程，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过探究归纳（列表描点画图分析性质）培养几何直观与抽象能力，典例精析（如例2用代数计算与对称性两种方法）发展推理意识，实际应用（喷水池问题）强化模型意识。采用讲练结合与规律总结（平移口诀），助力学生系统掌握知识，提升探究与应用能力，也为教师提供清晰教学思路。

第21章 二次函数与反比例函数 第3课时 二次函数 y = a (x + h)² + k 的图象和性质 2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质 优翼数学教学课件（HK）九上 复习引入 1. 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况： (1) y = ax2； (2) y = ax2 + k； (3) y = a(x + h)2. y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 导入新课 2. 请说出二次函数 y = -2x2 的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值. 3. 把 y = -2x2 的图象 向上平移 3 个单位 y = -2x2 + 3 向左平移 2 个单位 y = -2(x + 2)2 4. 二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象是否可以由 y = -2x2 的图象平移得到？你认为该如何平移呢？ O x y 3 -2 O y 3 -2 x 二次函数 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质 引例 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、顶点与对称轴. 探究归纳 新课讲授 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解：先列表， 再描点、连线. -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 直线 x = -1 开口方向向下， 对称轴是直线 x = -1， 顶点坐标是 (-1，-1) 试一试 画出函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并说出其开口方向、对称轴、顶点. 开口方向向上， 对称轴是直线 x = -1， 顶点坐标是 (-1，-2) -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 7 二次函数 y = a(x + h)2 + k (a ≠ 0) 的性质 y=a(x+h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x = -h 直线 x = -h 顶点坐标 （-h，k） （-h，k） 最值 当 x = -h 时，y最小值=k 当 x = -h 时，y最大值=k 增减性 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而增大 知识要点 顶点式 例1 已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是( ) 解析：根据二次函数开口向上，得 a＞0；根据－c 是二次函数顶点的纵坐标，得 c＞0．故一次函数 y＝ax＋c 的大致图象经过第一、二、三象限．故选 A. 典例精析 A 例2 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0). (1) 求 a 的值； (2) 若 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系. (1) 将 (3，0) 代入二次函数解析式，得 0＝4a－4， (2) 方法一： 根据题意，得 y1＝(m－1)2－4vy2＝(m＋n－1)2－4. ∵ y1＝y2， ∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵ n＞0，∴ m－1＝－(m＋n－1). 化简，得 2m＋n＝2. 解： 解得 a＝1. 方法二： ∵ 二次函数 y＝(x－1)2－4 的图象的对称轴为直线 x＝1，且图象上两点 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 满足 y1＝y 2， ∴ 点 A，B 关于直线 x＝1 对称. ∴ m＋n－1＝1－m. 化简，得 2m＋n＝2. 方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得相关的参数值. 例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m， 水管应多长? 13 C(3，0) B(1，3) A 1 x O y 2 3 1 2 3 解：建立如图所示的直角坐标系. 点 (1，3) 是这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线表达式为 ∵ 这段抛物线经过点 (3，0)， ∴ 0 = a(3－1)2＋3. 解得 ∴ 抛物线的解析式为 y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 当 x = 0 时，y = 2.25. 答：水管长应为 2.25 m. 3 4 a =－ . y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3). 3 4 － 14 二次函数 y = a(x + h)2 + k 与 y = ax2 的图象关系 探究归纳 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 向左平移 1 个单位 平移方法1 1 个单位 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 二次函数 y = ax2 与 y = a(x + h)2 + k 的图象关系 二者形状、开口都相同，可看作互相平移得到. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x + h)2 y = a(x + h)2 + k 上下平移 左右平移 上下 平移 左右 平移 平移规律 简记为： 上下平移时， 常数项上加下减； 左右平移时， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 要点归纳 1. 请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 可由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到? 向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到. 2. 如果一个二次函数的图象与抛物线 的形状相同，且顶点坐标是 (4，-2)，试写出这个二次函数的表达式. 练一练 18 抛物线表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2(x + 3)2 + 5 向上 (1，-2) 向下 向下 (3，7) (2，-6) 向上 直线 x = -3 直线 x = 1 直线 x = 3 直线 x = 2 (-3，5) y = -3(x - 1)2 - 2 y = 4(x - 3)2 + 7 y = -5(2 - x)2 - 6 1. 完成下列表格： 当堂练习 19 2. 把抛物线 y = -3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移1 个单位，那么所得抛物线是__________________. 4. 由抛物线 y = -3( x - 1)2 + 2 如何得到 y = -3x2 的图象? 3. 抛物线 y = -3x2 + 2 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的抛物线表达式为________________. 答：先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位； 或先向下平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位. 5. 已知一个二次函数图象的顶点为 A(-1，3)，且它是由抛物线 y = 5x2 平移得到，请直接写出该二次函数的解析式. 解：y = 5(x + 1)2 + 3. 一般地，抛物线 y = a(x + h)2 + k 与 y = ax2 形状和开口相同，位置不同. 二次函数 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质 图象特征 a＞0 时开口向上， a＜0 时开口向下； 对称轴是 x = -h； 顶点坐标是 (-h，k) 平移规律 左右平移：自变量左加右减； 上下平移：常数项上加下减 课堂小结 $