21.2.2 第2课时 二次函数y=a(x+h)²的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质 第2课时 二次函数 y = a(x + h)² 的图象和性质 优翼数学教学课件（HK）九上 复习引入 导入新课 问题1 说说二次函数 y = ax2 + c (a ≠ 0) 的图象特征. a,c的符号 a＞0,c＞0 a＞0,c＜0 a＜0,c＞0 a＜0,c＜0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y 轴（直线 x = 0） y 轴（直线 x = 0） （0，c） （0，c） 当 x＜0 时，y 随 x 增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大 当 x＜0 时，y 随 x 增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x增大而减小 x = 0 时，y最小值 = c x = 0 时，y最大值 = c 问题2 二次函数 y = ax2 + c (a ≠ 0) 与 y = ax2 (a ≠ 0) 的图象有何关系？ 答：二次函数 y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的图象可以由 y = ax2 (a ≠ 0) 的图象平移得到： 当 c＞0 时，向上平移 c 个单位长度得到； 当 c＜0 时，向下平移 -c 个单位长度得到. 问题3 函数 的图象，是否也可以由函数 的图象平移得到？ 二次函数 y = a(x + h)2 的图象和性质 互动探究 引例：在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 新课讲授 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y 轴 直线 x = 2 (0，0) (2，0) 根据所画图象，填写下表： 想一想：通过上述例子，你看出函数 y = a(x - h)2 的性质是什么？ 试一试：画出下列二次函数的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· -2 -4.5 -2 0 0 -2 -2 -4.5 -8 -8 -2 2 -2 -4 -6 4 -4 O x y 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x = -1 ( -1 , 0 ) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1, 0) -2 2 -2 -4 4 -4 O x y 二次函数 y = a(x + h)2 (a ≠ 0) 的性质 知识要点 y=a(x+h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x = -h 直线 x = -h 顶点坐标 （-h，0） （-h，0） 最值 当 x = -h 时，y最小值 =0 当 x = -h 时，y最大值=0 增减性 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞-h 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞-h 时，y 随 x 的增大而减小 若抛物线 y＝3(x＋ )2 的图象上的三个点，A (-3 ，y1)，B (-1，y2)，C (0，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系为___________． 解析：∵ 抛物线 y＝3(x＋ )2 的对称轴为 x＝- ，a＝3＞0，∴ x＜- 时，y 随 x 的增大而减小；x＞- 时，y 随 x 的增大而增大．∵ 点 A 的坐标为(-3 ，y1)， ∴ 点 A 在抛物线上关于 x＝- 的对称点 A′ 的坐标为( ，y1)．∵ - ＜-1＜0＜ ，∴ y2＜y3＜y1． 练一练 y2＜y3＜y1 向右平移 1个单位 向左平移 1个单位 二次函数 y = ax2 与 y = a(x + h)2 的图象关系 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O -2 2 -2 -4 4 -4 知识要点 二次函数 y = a(x + h)2 与 y = ax2 的图象之间的关系 形状、开口大小和方向均相同，可以看作互相平移得到. 左右平移规律： 仅对自变量 (x) 左加右减，其它不变. y = a(x + h)2 向右平移 h 个单位 y = a(x - h)2 向左平移 h 个单位 设 h＞0，将 y = ax2 例1 抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位后经过点 (-1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式． 解：抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位得 y＝a(x - 3)2， 代入点 (-1，4)，得 4＝a(-1 - 3)2，a＝ ， ∴ 平移后函数关系式为 y＝ (x - 3)2. 方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移 3 个单位后，a 不变，x 应“减去 3”；若向左平移 3 个单位，x 应“加上 3”，即“左加右减”. 将二次函数 y＝-2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝-2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　) A．向上平移 1 个单位　　B．向下平移 1 个单位 C．向左平移 1 个单位　　D．向右平移 1 个单位 练一练 C 1. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后的抛物线表达式是 . 2. 二次函数 y = 2(x - )2 图象的对称轴是直线 ，顶点是 . 3. 若 (- ，y1)，(- ，y2)，( ，y3) 为抛物线 y = (x - 2)2 上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系为__________. y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2 y1＞y2＞y3 当堂练习 16 4. 指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 (3，0) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2，0) (1，0) 17 5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x - 2)2 的图象，并指出两个图象之间的平移关系． 解：图象如图. 函数 y = 2(x - 2)2 的图象可由函数 y = 2x2 的图象向右平移 2 个单位得到. y O x y = 2x2 2 y = 2(x - 2)2 设 h＞0， 左移 h 个单位↔加 h； 右移 h 个单位↔减 h. 复习 y = ax2 + k 探索 y = a(x±h)2 的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 对称轴 平移关系 直线 x = ∓h a＞0，开口向上 a＜0，开口向下 y = ax2 平移规律： 仅对自变量 (x) 左加右减，其它不变. 顶点坐标 ( ∓h，0) 课堂小结 $null