21.1 二次函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦二次函数的定义、一般形式及特殊形式，通过彩虹、喷泉等现实情境和视频导入引发兴趣，复习函数、一次函数及一元二次方程旧知，结合正方体表面积、矩形围网面积等实际问题，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立新旧知识联系。 其亮点在于以数学眼光观察现实，从曲线现象抽象出二次函数关系，如通过玩具装配总数问题培养抽象能力。以数学思维引导探究，通过问题归纳定义及与一元二次方程的联系，提升推理意识。以数学语言构建模型，典例、变式及销售利润等实际应用题强化模型意识。小结系统梳理知识，学生能深化理解，教师可直接利用丰富例题和练习提升教学效率。

21.1 二次函数 第21章 二次函数与反比例函数 优翼数学教学课件（HK）九上 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 情境引入 导入新课 思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗? 视频引入 点击视频 开始播放 导入新课 1. 什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 3. 一元二次方程的一般形式是什么？ 形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数. 2. 什么是一次函数？正比例函数？ ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ). 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为 . y = 6x2 此式表示了正方体表面积 y 与正方体棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数. 二次函数的定义 探究归纳 新课讲授 问题2 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 设围成的矩形水面的一边长为 x m，那么，矩形水面的另一边长应为 (20 - x) m. 若它的面积是 S m2，则有 此式表示了边长 x 与围网的面积 S 之间的关系，对于 x 的每一个值，S 都有唯一的一个对应值，即 S 是 x 的函数. 6 问题3 有一玩具厂，如果安排装配工 15 人，那么每人每天可装配玩具 190 个；如果增加人数，那么每增加 1 人，可使每人每天少装配玩具 10 个. 问增加多少人才能使每天装配的玩具总数最多？最多为多少？ 设增加 x 人，这时，则共有 个装配工，每人每天可少装配 个玩具，因此，每人每天只装配 个玩具.所以，增加人数后，每天装配的玩具总数 y 可表示为 y =__________________. (15 + x) (190 - 10x) 整理为： y = -10x2 + 40x + 2850. (190 - 10x)(15 + x) 10x y = -10x2 + 40x + 2850 此式表示了每天装配的玩具总数 y 与增加 x 人之间的关系，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数. y = 6x2 y = -10x2 + 40x + 2850 问题 1~3 中的函数关系式有什么共同点? 想一想 函数都是用 自变量的二次整式表示的 二次函数的定义： 一般地，表达式形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做 x 的二次函数. 其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； （2）a，b，c 为常数，且 a ≠ 0； （3）等式右边的自变量最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 归纳总结 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x 是自变量) ① y = ax2 + bx + c； ② y = 3 - 2x²； ③ y = x2； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = (x+3)² - x². 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. 典例精析 y = 6x + 9 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 另外，二次函数除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 外，还有其特殊形式，如 y = ax2，y = ax2 + bx，y = ax2 + c 等. 方法归纳 想一想: 二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有什么联系和区别？ 联系：(1) 等式一边都是 ax2＋bx＋c，且 a ≠ 0； (2) 方程 ax2＋bx＋c＝0 可以看成是二次函数 y = ax2＋bx＋c 中当 y＝0 时的情况. 区别：前者是函数，后者是方程； 前者等式另一边是 y，后者是 0. 二次函数定义的应用 解： （1）由题意知 解得 （2）由题意知 解得 m = 3. 第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视. 注意 例2 (1) 当 m 取何值时，此函数是 正比例函数？(2) 当 m 取何值时，此函数是二次函数？ 1. 已知 ，k 取何值时，y 是 x 的二次函数？ 解：当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0，即 k = -2 时，y 是 x 的二次函数. 变式训练 解： 由题意得 所以 m ≠ ±3. 15 解： 由题意得 【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. 例3 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元.每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解：依题意知生产第 x 档次的产品，提高了(x－1)档，利润增加了 2(x－1) 元. 则有 y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]. 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10). (2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次． 解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120， 整理得 x2－18x＋72＝0， 解得 x1＝12 (舍去)，x2＝6． 所以，该产品的质量档次为第 6 档． 【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型． 思考： 1. 已知二次函数 y＝－10x2＋180x＋400，自变量 x 的取值范围是什么？ 2. 在例 3 中，所得出 y 关于 x 的函数关系式 y＝－10x2＋180x＋400，其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗？ 【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围还应符合实际情况，使实际问题有意义. 二次函数的值 例4 已知二次函数 (k 为常数). （1）求 k 的值； （2）当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 k = 2. 将 x = 0.5 代入函数关系式，得 （2）当 k = 2 时， 此类型题目考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量最高次数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再将 x 的值代入其中，求出对应的 y 的值. 归纳总结 2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( ) A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0 C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数 C 1. 把二次函数 y = (2 - 3x)(6 + x) 化为一般式，二次项为_____，一次项系数为_____，常数项为 . -3x2 -16 12 当堂练习 4. 已知函数 y = 3x2m-1－5. ① 当 m =＿＿时，y 是 x 的一次函数； ② 当 m =＿＿时，y 是 x 的二次函数. 1 3．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y = 2x＋1 B． C．y = 3x2＋1 D． C 5. 若函数 是二次函数，求： （1）a 的值； （2）函数表达式； （3）当 x = -2 时，y 的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 a = -1. （2）函数表达式为 （3）将 x = -2 代入函数关系式中，得 6. 写出下列各函数关系式，并判断它们的函数类型. （1）正方体的表面积 S (cm2) 与正方体棱长 a (cm) 之间的函数关系； （2）圆的面积 y (cm2) 与它的周长 x (cm) 之间的函数关系； （3）菱形的两条对角线的和为 26 cm，求菱形的面积 S (cm2) 与一对角线长 x (cm) 之间的函数关系. 二次函数 二次函数 二次函数 7. 某商店销售一种成本为每千克 40 元的商品，根据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题： （1）当销售单价为每千克 55 元时，计算月销售量和销售利润分别为多少； （2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围）. 450 kg，6750 元 8. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. 求： （1）y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当 x = 3 时矩形的面积. 解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8). (2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15， 即矩形的面积为 15 cm2. 27 二次函数 定 义 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数) 一般形式 右边是整式； 自变量的最高指数是 2； 二次项系数 a ≠ 0. 特殊形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c. (a ≠ 0，a，b，c 是常数) 课堂小结 $把圆锥按不同角度切开，会出现不同的形状，横着切是一个圆，再稍微偏一点就切出一个椭圆。如果继续倾斜，直到与圆锥侧线平行时，在一切出现了一种从未见过的优美曲线。