6.2 第2课时 反比例函数的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦反比例函数的性质及比例系数k的几何意义，通过复习回顾反比例函数图象及类比一次函数性质的问题导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步深入探究。 其亮点在于以合作探究为核心，通过画图象、分析象限分布与增减性培养几何直观和抽象能力，结合实例计算矩形面积、猜想证明k的几何意义发展推理意识和模型意识。采用归纳总结与分层练习结合的教学方法，助力学生理解知识本质，也为教师提供系统高效的教学流程。

6.2 反比例函数的图象与性质 第六章 反比例函数 第2课时　反比例函数的性质 九年级上册数学（北师版） 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？ 反比例函数的图象是双曲线 问题1 问题2 复习回顾 反比例函数的图象和性质 1 合作探究 例1 画反比例函数 的图象. -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 探究新知 3 观察函数图象，回答下列问题： 思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 函数的图象都位于一、三象限. (2) 在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？ 你能由它们的表达式说明原因吗？ -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 随着 x 值的增大，y 越来越小. 考察当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象，它们有哪些共同特征？ 议一议 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 1. 由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 -2 x y O 2 4 6 2 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 2. 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. (1) 当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 (k ≠ 0) 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数图象的位置和增减性 归纳总结 1. 点 (2，y1) 和 (3，y2) 均在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“＞”“＜”或“=”). ＜ 练一练 9 例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值. 解：由题意得 a2 + a－7 = －1，且 a－1<0． 反比例函数的图象和性质的初步运用 2 解得 a =－3. 2. 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得 m = 3. 练一练 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，并填写下页表格： 反比例函数表达式中 k 的几何意义 3 合作探究 5 1 2 3 4 -1 5 x y O P S1 S2 P (2，2)，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = k -5 -4 -3 -2 1 4 3 2 -3 -2 -4 -5 -1 Q S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 的图象 上也用同样的方法取 P，Q 两 点，并分别向两坐标轴引垂线， 围成面积为 S1，S2 的矩形，填写表格： 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = -k y x O P Q S1 S2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，点 O 为坐标原点，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = |k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. y x O P S 我们就 k＜0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵ 点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab = k. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k. 若点 P 在第二象限，则 a＜0，b＞0. 若点 P 在第四象限，则 a＞0，b＜0. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k. B P A 综上可知， S矩形 AOBP = |k|. k＞0 的情况请同学们自行证明！ 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥y 轴于点 A，作 QB ⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 (k ≠ 0)， A B |k| y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 Q A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 ( ) A. SA＞SB＞SC B. SA＜SB＜SC C. SA = SB = SC D. SA＜SC＜SB 3. 如图，在函数 (x＞0) 的图象上有三点 y x O A B C C 练一练 4. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . -12 提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0. y x O P A 例3 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___. y D B A C x 3 2 5 5.如图所示，在平面直角坐标系中，过点 M 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ 的面积为 8，则k =______. Q P O x M y －10 练一练 反比例函数 的性质 性质 反比例函数图象中比例系数k的几何意义 当k＞0时，在每一象限内， y 的值随 x 的增大而减小. 当k<0时，在每一象限内， y 的值随 x 的增大而增大. 当堂小结 1. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内， 则 m 的取值范围是________. 2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (-1，12) 和点 (10，-1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于第二、四象限. 其中正确的是 (填序号). (1) (3) m ＞ 2 课堂练习 A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定 3. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上， △ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) O B A P x y A 4. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m2－5 = －1， m＞0， 解得 m = 2. $