4.4 第4课时 黄金分割（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

4.4 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第4课时 黄金分割 九年级上册数学（北师版） 事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系. 情境导入 通过观察，你觉得下面那副图最有美感？ 一个五角星如下图所示. (1) 从图中找出相等的角、相等的线段. (2) 在图中找出两对相似比不同的相似 三角形. 探究新知 黄金分割的概念 1 五角星的对称性 △ACD∽△ ABF，△FGH∽△DGC. A C B D E F G H K L 3 A C B D E F G H K L 小亮认为 ，你同意他的看法吗？说说你的理由. 度量、计算 ∵AG = AB，AD = BC 易证 △ACD∽△ AGC. A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割. 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比. 归纳总结 5 例1 计算黄金比. 解：由 ，得 AC² = AB·BC. 设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x. ∴ x² = 1 ×(1 - x)，即 x² + x – 1 = 0. 解方程得：x1= (不合题意，舍去)，x2= . 黄金比 典例精析 1. 如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图： ①经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB. ②连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB. ③在 AB 上截取 AC = AE. 思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗? A B D E C 练一练 7 ∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点. A B D E C F C A E B D 下图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用 虚线表示的矩形画成图中的 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现， . 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的 宽与长的比是黄金比吗? 做一做 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. A B C D E F 例2 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄 金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感. 小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得 解得 x = 0.96. 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y≈0.075，而 0.075 m = 7.5 cm. 故她应该穿约为 7.5 cm 高的高跟鞋看起来会更美. 2.如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB =10 cm，则 AC 的长约为_____cm.（结果精确到 0.1 cm） 6.2 练一练 【解析】本题考查黄金分割的有关知识， 由题意知 ∴AC2 = (10 - AC)×10，解得 AC ≈ 6.2 cm. 图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比，普通树叶的宽与长之比也接近 0.618. 大自然与黄金分割 人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病. 人体最感舒适的温度是 23℃ (体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23=37×0.618). 这说明医学与 0.618 有千丝万缕的联系，尚待开拓研究. 人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节. 上肢与下肢长度之比均近似 0.618. 设计与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异. 但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618. 东方明珠塔，塔高 468 米.设计师在 263 米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观. 16 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比. 一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段 : 原线段 = 定义 当堂小结 1.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1 = S2 D．S1≥S2 P A B C 课堂练习 3.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高 3 米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？ 2.点 C 是线段 AB 的黄金分割点，如果 AB = 4，求线段 AC 的长度． AC = 4×0.618 = 2.472 或者 AC = 4×(1 - 0.618) = 1.518. 离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m 【解析】由黄金分割定义可知，AC = BD = ×AB = ( - 40) cm，AD = AB - BD = (120 - ) cm， 所以 DC = AC - AD = ( - 160) cm. 4.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC =__________cm，DC =___________cm. $