4.4 第3课时 利用三边判定三角形相似（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“利用三边判定三角形相似”，通过复习相似三角形定义、已学判定方法，对比全等三角形判定，提出“三边成比例是否相似”的问题，构建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于探究环节引导学生画图测量后，通过作辅助线推理证明，培养几何直观与推理能力。例题涵盖直角三角形、角度计算等情境，结合符号语言和实际问题，强化模型意识与应用意识。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

4.4 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第3课时 利用三边判定三角形相似 九年级上册数学（北师版） 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从 中获得证明三角形相似的启发吗？ 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ A B C D E 3. 如果两个三角形的三边成比例，那么 这两个三角形一定相似吗？ 复习导入 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 和 都 等于给定的值 k. 设法比较 ∠A 与 ∠A' 的大小，△ABC 与 △A'B'C' 相似吗？说说你的理由. A B C C′ B′ A′ 探究新知 三边成比例的两个三角形相似 1 做一做 A B C C′ B′ A′ 通过测量不难发现 ∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论. ∴ DE = B′C′，EA = C′A′. ∴△ADE ≌ △A′B′C′. ∴△A′B′C′ ∽ △ABC. ∴ ， . 又 ，AD = A′B′， ∴ ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E. 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′， C′ B′ A′ B C A D E 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 归纳总结 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 (1) 典例精析 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA， 在 △DEF 中， DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF. ∵ ， ， ， ∴ . ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. ∵ ， ， ∴ (2) 解： 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 归纳总结 例2 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE的度数. A B C D E ∴ △ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). 解：∵ ∴∠BAC =∠DAE， 找出图中相等的角 ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC. 即∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°. 例3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′ 2 = (2B′C′)2. ∴ BC = 2B′C′， ∴ △A′B′C′∽△ABC. 如图，△ABC 与 △A'B'C' 相似吗？你有哪些判断方法？ 议一议 △ABC∽△A′B′C′ 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理 3 的运用 当堂小结 1. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( ) C A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ ① ② ③ ④ 课堂练习 2. 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似. (3) AB=12， BC=15， AC＝24， DE＝16，EF＝20， DF＝30. (2) AB＝4， BC＝8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8； (1) AB＝3， BC＝4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9； 是 否 否 3. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD，下列结论正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A C B P D C ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选 C. 解析：设 AP = PB = BC = CD = 1，∵∠APD=90°，∴AB = ，AC = ，AD = . 4. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， ∴ ∴ 5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解：公路 AB 与 CD 平行. 理由如下： ∴ ∴ △ABD∽△BDC. ∴∠ABD =∠BDC. ∴AB∥DC. 18 $