3.3幂函数教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质

3．3　幂函数

 

1．幂函数的概念

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．五个幂函数的图象与性质

 

[微思考]　通过对5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？

提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．

 

题型一　幂函数的概念　

[典例1]　(1)已知幂函数f(x)＝(m2－3)xm在(0，＋∞)上为减函数，则f(3)等于(　　)

A.　　　  　   B．9　　　　      C.　　　    　D．3

(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.

[解析]　(1)由f(x)为幂函数得m2－3＝1，m＝±2，

又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，

∴m＝－2，故f(x)＝x－2，f(3)＝.

(2)因为f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.

[答案]　(1)A　(2)5或－1

 

[方法技巧]

求幂函数解析式的依据和常用方法

(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．

(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.　　

 

 

【对点练清】

1．在函数y＝，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)

A．0            B．1           C．2             D．3

解析：选B　因为y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x3由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1 的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y＝1不是幂函数．

2．已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)x在(0，＋∞)为增函数，则m的值为(　　)

A．1或3        B．3            C．2              D．1

解析：选D　由函数f(x)为幂函数，得m2－4m＋4＝1，解得m＝1或m＝3.又幂函数f(x)单调递增，则m2－6m＋8＞0，据此可得，m＝1.

 

题型二　幂函数的图象及应用　

[典例2]　若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问：当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)?

[解]　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα

中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.

在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：

(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；

(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；

(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．

 

[方法技巧]

解决幂函数图象问题的原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．

 

【对点练清】

1．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)

解析：选B　y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.

 

2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)