3.2.2奇偶性教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质

3．2．2　奇偶性

 

　　

[微思考]　既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)＝0(x∈R)这一函数吗？

提示：不是只有一个，有无数个，如f(x)＝0(x∈[－1,1])，f(x)＝0(x∈[－2,2])．

 

题型一　函数奇偶性的判断　

[典例1]　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝ ＋ ；

(3)f(x)＝；(4)f(x)＝

[解]　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，

且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，

∴f(x)是非奇非偶函数，即f(x)既不是奇函数又不是偶函数．

(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；

当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．

综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．

 

[方法技巧]

函数奇偶性的判断方法

(1)定义法：

确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．　　

(2)图象法：

(3)性质法：

设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．

 

【对点练清】

1．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；

(3)f(x)＝.

解：(1)函数f(x)的定义域为R.

又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数．

(2)函数f(x)的定义域是R.

因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，

所以f(x)是偶函数．

(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．

2．已知函数f(x)＝试判断函数f(x)的奇偶性．

解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．

当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3

＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；

当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)；

当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3

＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．

∴f(x)是R上的奇函数．

 

题型二　奇函数、偶函数的图象问题　

[典例2]　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．

(1)画出在区间[－5,0]上的图象；

(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．

[解]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．

由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．

(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．

 

 

[方法技巧]

巧用奇函数、偶函数的图象求解问题

(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．

(2)求解：根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇函数、偶函数图象的问题．

[对点练清]

已知函数f(x)＝x2－2|x|－1，x∈[－3,3]．