2.1等式性质与不等式性质教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2．1　等式性质与不等式性质

 

知识点一　实数的大小比较的基本事实

1．文字叙述

如果a－b是正数，那么a＞b；

如果a－b等于0，那么a＝b；

如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也对．

2．符号表示

a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.

[微思考]　x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见，你能想个办法比较x2＋1 与2x的大小关系吗？

提示：作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x.

 

知识点二　等式性质与不等式性质

1．等式性质

等式有下面的基本性质：

性质1　如果a＝b，那么b＝a；

性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.

2．不等式性质

 

题型一　用不等式(组)表示不等关系　

[典例1]　用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．

[解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18，

这时菜园的另一条边长为＝m.

因此菜园面积S＝x.

依题意有S≥110，即x≥110，

故该题中的不等关系可用不等式表示为

 

[方法技巧]

1．用不等式(组)表示不等关系的步骤

(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数．

(2)适当设未知数表示变量．

(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式(组)的形式．

2．用不等式表示不等关系的注意点

(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．

(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．　　

 

【对点练清】

1．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？

解：因为矩形的另一边15－≤11，所以x≥8.

又0＜x≤18且x≤11，所以8≤x≤11.

2．[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？

解：函数S＝x的对称轴方程为x＝15，令S≥110，x∈N，经检验当x＝13,14,15,16,17时S≥110.

 

题型二　比较实数(式子)的大小　

[典例2]　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．

[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)

＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．

由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，

∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.

[方法技巧]

比较两个实数(或式子)大小的步骤

(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差．

(2)变形：对差进行变形．

(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．

(4)得出结论．

提醒：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断差的符号”是目的，“变形”是关键．在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　

【对点练清】

1．把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．

解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)

＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，

当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；

当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；

当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.

2．已知x∈R且x≠－1，试比较与1－x的大小．

解：∵－(1－x)＝＝，

当x＝0时，＝1－x；