1.5.1全称量词与存在量词教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦全称量词与存在量词的意义、命题形式及真假判断，通过不等式解集、方程解的存在性等实例导入，衔接集合知识，构建从集合到逻辑用语的学习支架，为后续推理证明奠定基础。 资料以“微思考”对比命题差异培养抽象能力，题型从判断到参数问题层层递进发展逻辑推理，符号化表示训练数学语言。如判断“∀x∈N，2x+1是奇数”的真假，体现数学思维严谨性。助力学生提升逻辑推理与数学运算素养，为教师提供清晰教学路径与实用例题，提升课堂效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 1．5　全称量词与存在量词 1．5．1　全称量词与存在量词 明确目标 发展素养 1.通过已知数学实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义． 2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判断. 1.借助全称量词命题与存在量词命题的真假性的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养. 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 ∀ 全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立 符号表示 ∀x∈M，p(x) 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 ∃ 存在量词 命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立 符号表示 ∃x∈M，p(x) 　　 [微思考]　全称量词命题与存在量词命题有什么区别？ 提示：（1）全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”． （2）存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”． 题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断　 [典例1]　判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题： (1)所有不等式的解集A，都满足A⊆R； (2)∃x∈R，y∈R，使(x＋y)(x－y)＞0； (3)存在x∈R,2x＋1是整数； (4)自然数的平方是正数； (5)所有四边形的内角和都是360°吗？ [解]　“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(4)是全称量词命题．(2)(3)中含有存在量词，所以(2)(3)是存在量词命题．(5)是疑问句，不是命题． [方法技巧] 判断全称量词命题与存在量词命题的思路 提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．　　 【对点练清】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表示： (1)所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数． 解：(1)全称量词命题，∀x∈R，x2＋x＋1＞0. (2)全称量词命题，∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解． (3)存在量词命题，∃x，y∈Z,3x－2y＝10. (4)全称量词命题，∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数． 题型二　全称量词命题与存在量词命题真假的判断　 [典例2]　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假： (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)对任意实数a，|a|＞0； (4)有一个角α，使sin α＝. [解]　(1)是全称量词命题．因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，所以该命题是假命题． (4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题． [方法技巧] 1．判断全称量词命题真假的思维过程 2．判断存在量词命题真假的思维过程 　　 【对点练清】 1．(多选)下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是(　　) A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点 B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b C．存在一个菱形不是平行四边形 D．存在一个实数x，使不等式x2－3x＋7＜0成立 解析：选CD　对于A，是全称量词命题，是假命题，故A错误；对于B，是全称量词命题，是真命题，故B错误；对于C，是存在量词命题，是假命题，故C正确；对于D，是存在量词命题，是假命题，故D正确．故选C、D. 2．判断下列命题的真假： (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，>0. 解：(1)因为面积相等的三角形不一定相似，故它是假命题． (2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0， 所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N, ＝0，所以命题“∀x∈N，>0”是假命题． 题型三　求参数的值或取值范围　 [典例3]　已知命题p：∀x∈，－a≥0是真命题，求实数a的取值范围． [解]　∵－a≥0，∴a≤. 由题意知a≤min，又x∈， ∴1≤≤2，∴a≤1.故实数a的取值范围为{a|a≤1}． [方法技巧] 求解含有量词命题中参数范围的策略 已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路． 解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．　　 【对点练清】 本例命题p不变，命题q：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0，p与q都是真命题，求实数a的取值范围． 解：由∀x∈，－a≥0，解得a≤1. 由∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0，知Δ＝4－4(2－a)≥0， 解得a≥1.又p，q都是真命题，所以 所以a＝1，故实数a的值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $