3.1.2函数的表示法（教学设计+课时训练）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3．1　函数的概念及其表示 3．1．2　函数的表示法 【课时跟踪检测】 层级(一)　“四基”落实练 1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　) A．y＝2x　　　　　　　　　 B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4}) 2．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)等于(　　) A．x＋1　　　　　　　　　 B．x－1 C．2x＋1 D．3x＋3 3．如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于(　　) A. B. C. D.－1 4．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f等于(　　) A．1 B．3 C．15 D．30 5．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为(　　) A．y＝x(x>0) B．y＝x(x>0) C．y＝x(x>0) D．y＝x(x>0) 6．(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　) A．f(x)＝　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 7．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　) 8．设函数f(x)＝则f的值为(　　) A. B．－ C. D．18 9．设f(x)＝若f(x)＝1，则x等于(　　) A．1 B．±1 C. D．－1 10.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则(　　) A．f(f(－3))＝1 B．f(－1)＝3.5 C．函数的定义域是(－∞，0]∪[2,3] D．函数的值域是[1,5] 11．已知函数f(＋1)＝x－4，则f(x)的解析式为__________． 12.已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为________；g(f(1))的值为________. x 1 2 3 f(x) 2 3 0 13．设函数f(x)＝若f(a)＞a，则实数a的取值范围是________． 14．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求f，f，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值． 15．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值． 层级(二)　能力提升练 16．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________． 17．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f(x)的解析式为________________． 18．已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋.当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数t的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t的图象． 19．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)求函数f(x)的值域． 20．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于(　　) A．－3 B．±3 C．－1 D．±1 21．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C．若f(x)＝3，则x的值是 D．f(x)＜1的解集为(－1,1) 22．已知函数f(x)＝则f＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________． 23.如图，动点P从单位正方形ABCD的顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f的值． 24.已知函数f(x)的图象如图所示，在区间[0,4]上是抛物线的一段． (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)≤x＋1. 层级(三)　素养培优练 25．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　) A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 26．已知n为正整数，规定f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，且f(x)＝ (1)解不等式f(x)≤x. (2)设集合A＝{0,1,2}，对任意x∈A，证明：f3(x)＝x. (3)“对任意x∈[0,2]，总有f3(x)＝x”是否正确？请说明理由． 27．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为[1,4]，这样的函数有多少个？试写出其中的两个函数：____________________________. 28．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(不考虑临界状态) (1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域． 【参考答案】 1.解析：选D　题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}． 2.解析：选A　因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x＋1，选A. 3.解析：选B　令t＝，得x＝，所以f(t)＝＝，所以f(x)＝. 4.解析：选C　令1－2x＝t，则x＝(t≠1)， ∴f(t)＝－1(t≠1)，即f(x)＝－1(x≠1)， ∴f＝16－1＝15. 5.解析：选C　正方形外接圆的直径是它的对角线，又正方形的边长为，由勾股定理得(2y)2＝2＋2，∴y2＝，即y＝x(x>0)． 6.解析：选AD　对于B：取x＝2，f(2)＝3或4，对于C：取x＝1，f(1)＝5或1，所以B、C都不合题意．易知A、D符合． 7.解析：选C　由题意知f(x)＝ 则f(x)的图象为C中图象所示． 8.解析：选A　因为x＞1时，f(x)＝x2＋x－2， 所以f(2)＝22＋2－2＝4，＝. 又x≤1时，f(x)＝1－x2， 所以f＝f＝1－2＝.故选A. 9.解析：选B　若即∴x＝－1. 若即∴x＝1. 若即无解． 故x＝±1. 10.解析：选AD　选项A，由图象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，A正确；选项B，图象法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(－1)的确定值，B错误；选项C，由图象可得函数的定义域为[－3,0]∪[2,3]，C错误；选项D，由图象可得函数的值域为[1,5]，D正确． 11.解析：令t＝＋1≥1，则x＝(t－1)2， 故f(t)＝(t－1)2－4＝t2－2t－3(t≥1)， 所以f(x)＝x2－2x－3(x≥1)． 答案：f(x)＝x2－2x－3(x≥1) 12.解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.由表格知f(1)＝2，所以g(f(1))＝g(2)＝1. 答案：2　1 13.解析：当a≥0时，由f(a)＞a得a－1＞a，解得a＜－3，又a≥0，所以无解，当a＜0时，由f(a)＞a得＞a，解得a＜－1，故填(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) 14.解：(1)∵>1， ∴f＝－2×＋8＝5. ∵0<<1，∴f＝＋5＝. ∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)这个函数的图象如图． 在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0<x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x>1的部分． 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 15.解：因为f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，① 又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解， 所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1. 代入①得a＝. 所以f(x)＝＝. 所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝. 16.解析：设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0，且x≠0)，则F(x)＝kx＋. 由F＝16，F(1)＝8，得解得 所以F(x)＝3x＋(x≠0)． 答案：F(x)＝3x＋(x≠0) 17.解析：法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0.① 又因为|x1－x2|＝＝2， 所以b2－4ac＝8a2.② 又由已知得c＝1.③ 由①②③解得a＝，b＝2，c＝1， 所以f(x)＝x2＋2x＋1. 法二：因为y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2， 又|x1－x2|＝2， 所以y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－2－，0)， (－2＋，0)，故可设f(x)＝a(x＋2＋)(x＋2－)． 因为f(0)＝1，所以a＝. 所以f(x)＝[(x＋2)2－2]＝x2＋2x＋1. 答案：f(x)＝x2＋2x＋1 18.解：(1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28，列出方程组 解得所以t＝x＋.又因为x≤20，x为正整数，所以函数的定义域是{x|0<x≤20，x∈N＋}． (2)x的取值分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，共20个，列表如下： 注：表中的部分数据是近似值． (3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示． 19.解：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R， 列表： x －2 －1 0 1 2 3 4 y －5 0 3 4 3 0 －5 描点，连线，得函数图象如图所示． (1)根据图象，容易发现 f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0， 所以f(3)＜f(0)＜f(1)． (2)根据图象，容易发现当 x1＜x2＜1时，有f(x1)＜f(x2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]． 20.解析：选D　f(－1)＝＝1. ∴f(a)＋f(－1)＝f(a)＋1＝2. ∴f(a)＝1，即 ①　或② 解①得a＝1，解②得a＝－1. ∴a＝±1. 21.解析：选BC　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误； 当x≤－1时，f(x)取值范围是(－∞，1]，当－1＜x＜2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确； 当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1＜x＜2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确； 当x≤－1时，x＋2＜1，解得x＜－1，当－1＜x＜2时，x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f(x)＜1的解集(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误．故选B、C. 22.解析：由题意知f＝－＋2＝， 则f＝f＝＋－1＝＋－1＝.作出函数f(x)的图象， 如图所示，结合图象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1；令x＋－1＝3，解得x＝2±，又x＞1，所以x＝2＋， 所以(b－a)max＝2＋－(－1)＝3＋. 答案：　3＋ 23.解：当点P在AB上运动时，y＝x； 当点P在BC上运动时，y＝， 当点P在CD上运动时，y＝， 当点P在DA上运动时，y＝4－x， ∴y＝ ∴f＝ ＝. 24.解：(1)由题图可知，当x<0时，f(x)＝3， 当0≤x≤4时，设f(x)＝a(x－2)2－1， 把点(1,0)代入得a－1＝0，解得a＝1， 所以f(x)＝(x－2)2－1， 当x>4时，设f(x)＝kx＋b， 把(4,3)，(5,0)代入得，解得 所以f(x)＝－3x＋15， 所以f(x)＝ (2)f(x)≤x＋1， 当x<0时，3≤x＋1，解得x≥4，不符合，舍去; 当0≤x≤4时，(x－2)2－1≤x＋1，解得≤x≤4; 当x>4时，－3x＋15≤x＋1，解得x≥4，所以x>4， 综上，不等式f(x)≤x＋1得解集为. 25.解析：选C　不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c. 若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2.故a∨b≥2. 若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2.故c∧d≤2. 26.解：(1)当0≤x≤1时，由2(1－x)≤x， 得x≥，故≤x≤1； 当1＜x≤2时，由x－1≤x，得x∈R，故1＜x≤2. 综上可知，不等式的解集为. (2)由题可知，f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1. 当x＝0时，f3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0； 同理，可求得当x＝1时，f3(1)＝1； 当x＝2时，f3(2)＝2. 故对任意x∈A，恒有f3(x)＝x. (3)不正确．例如，x＝∈[0,2]， f3＝f＝f(f(1))＝f(0)＝2≠， 即f3(x)＝x不成立． 故“对任意x∈[0,2]，总有f3(x)＝x”不正确． 27.解析：由题意知1≤x2≤4，则－2≤x≤－1或1≤x≤2. ∴函数的定义域为[－2，－1]∪[1,2]． 画出函数的图象可知有无数个这样的函数． 答案：y＝x2，x∈[－2，－1]或y＝x2，x∈[－2，－1]∪[1,2] 28.解：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m， 所以水的面积A＝＝h2＋2h. (2)定义域为{h|0<h<1.8}． 由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大， 所以0<A<6.84.故函数的值域为(0,6.84).5. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 3．1　函数的概念及其表示 3．1．2　函数的表示法 明确目标 发展素养 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法． 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．理解函数图象的作用． 3.通过具体实例，了解分段函数，并能简单应用. 1.通过用图象法表示函数，培养直观想象素养． 2.通过求函数解析式及分段函数求值，培养数学运算素养． 3.利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养. 第一课时　函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 　 [微思考]　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 提示：要检验一个图形是否为函数的图象，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象． 题型一　函数表示法　 [典例1]　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． [解]　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示． (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． [方法技巧] 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明函数的定义域． (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系． (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．　　 【对点练清】 1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) 解析：选D　由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. 2．将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系． 解：这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N*}． ①解析法：S＝2＋2. 将上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x<10，x∈N*}． ②列表法： 一段铁丝长x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面积之和S/cm2 ③图象法： 题型二　函数图象的作法及应用　 [典例2]　作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [解]　(1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]． (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图可得函数的值域是[－1,8]． [方法技巧] 描点法作函数图象的三个关注点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈． 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．　　 【对点练清】 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________． 解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]． 答案：[－3,3]　[－2,2] 2．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)． 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图1. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图2. 题型三　函数解析式的求法 [典例3]　求下列函数的解析式： (1)已知函数f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)． [解]　(1)法一：换元法 设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)． ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：配凑法 ∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝1，∴c＝1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 整理，得2ax＋(a＋b)＝2x. 由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等， ∴解得∴f(x)＝x2－x＋1. (3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x， 联立可得 消去f(－x)可得f(x)＝x－1. [方法技巧] 求函数解析式的四种常用求法 配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 解方程组法 已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 【对点练清】 1．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)． 解：法一：配凑法 ∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 法二：换元法 令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， 即f(x)＝x2－5x＋6. 2．已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，求f(x)． 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6. 于是有解得或 所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6. 3．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． 解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x， ① ∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x. ② ∴由①②，得3f(x)＝x2－6x， ∴f(x)＝x2－2x. 第二课时　分段函数 分段函数的定义及本质 (1)定义：分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)本质：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． [微提醒] (1)分段函数是一个函数而不是几个函数．解决分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系． (2)作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象． (3)分段函数在书写时要用“{”把各段函数合并写成一个函数的形式，并且指明各段函数自变量的取值范围． 题型一　分段函数求值问题　 [典例1]　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(－)，f的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值； (3)若f(x)>2x，求x的取值范围． [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2. ∵f＝－＋1＝－，且－2<－<2， ∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－. (2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意； 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. (3)当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为x2＋2x>2x， 即x≠0，所以－2<x<0或0＜x＜2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是{x|x＜0或0＜x＜2}． [方法技巧] 1．求分段函数函数值的步骤 (1)先确定要求值的自变量属于哪个区间． (2)然后代入该区间对应的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)对字母的取值范围分类讨论． (2)代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．　 【对点练清】 1．设f(x)＝则f(f(－2))＝________. 解析：∵f(－2)＝(－2)2＝4，∴f(f(－2))＝f(4)＝4－2＝2. 答案：2 2．函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. 解析：当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，∴x0＝－或x0＝(舍去)；当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.综上可知，x0＝－或x0＝10. 答案：－或10 3．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是________． 解析：作出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3，所以当f(x)＞f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞) 题型二　分段函数的图象　 [典例2]　(1)已知f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式． (2)已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示函数f(x)； ②画出函数f(x)的图象； ③写出函数f(x)的值域． [解]　(1)当0≤x≤1时，f(x)＝－1； 当1<x≤2时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则解得此时f(x)＝x－2. 综上，f(x)＝ (2)①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x. 所以f(x)＝ ②函数f(x)的图象如图所示． ③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． [方法技巧] 1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别要注意端点处是实心点还是空心圈．　　 【对点练清】 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________． 解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式， 则∴ 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1. ∴f(x)＝ 答案：f(x)＝ 2．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为_______． 解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 答案：{y|y≤2} 3．作出函数f(x)＝的图象． 解：画出一次函数y＝－x－1的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函数y＝x2－x－2的图象，取(－1,2]上的一段；画出一次函数y＝x－2的图象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示． 题型三　分段函数的实际应用　 [典例3]　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． [解]　如图，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. ①当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2； ②当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2； ③当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10. 综合①②③，得函数的解析式为y＝ 图象如图所示． [方法技巧] 在写分段函数的解析式时，要注意各段自变量取值集合的交集为∅，当前后两段图象连续时，相连的区间端点可在这两段的任意一段上，不要漏掉端点值即可．　　 【对点练清】 某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，求此人购物实际所付金额． 解：设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元， 则y＝ 当x＝900时，y＝0.1×(900－500)＝40， ∵60>40，∴x>900，∴0.2(x－900)＋40＝60，解得x＝1 000，故此人购物实际所付金额为1 000－60＝940(元). 学科网（北京）股份有限公司 $