精品解析：2022年内蒙古乌海市第二中学九年级中考第一次模拟考试数学试卷

乌海二中2022年中考第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的座位号、姓名等相关信息填写在答题卡的指定位置上． 3．本试卷分试题卷和答题卡，请将答案写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题无效，试题卷自行保留，只交答题卡． 4．答题用0.5毫米的黑色水笔，涂卡用2B铅笔，作图可先用铅笔画出，确认后再用0.5毫米的黑色水笔描清楚，要求字迹工整．严格按题号所示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．严禁折叠、破损，严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带，保持答题卡干净整洁． 一、选择题：本大题12道小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列式子的结果为负数的是 （　 　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（　　） A 5×1010千克 B. 50×109千克 C. 5×109千克 D. 0.5×1011千克 4. 在△ABC中，∠C=90°，tanA=1，那么cosB等于（　　） A. B. C. 1 D. 5. 一组数据3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的中位数和方差分别是（ ） A. 5， B. 5，2 C. 4， D. 4，10 6. 如图所示是由几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B. 可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 C. 天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨 D. 抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 8. 已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知AB=8，∠B=30°，则DE的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 2 D. 4 10. 如图，在□ABCD中，点MCD中点，AM 与BD相交于点 N，那么S△DM N∶S□ABCD为 （ ） A. 1∶12 B. 1∶9 C. 1∶8 D. 1∶6 11. 已知下列命题 ①若，则 ②若，则 ③到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ④矩形的对角线相等 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在中，，，点是边上的动点（不与点重合），过点作，垂足为，且，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题8道小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡对应的横线上． 13. 已知：m、n是方程的两个实数根，则____． 14. 计算： _____． 15. 化简：______． 16. 从 ，1，2，3这四个数中任取两个不同的数作为一次函数的系数k、b，所得一次函数的图象不经过第四象限的概率是_____． 17. 如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为_____． 18. 如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，则的值为___． 19. 如图，已知四边形的底边AO在x轴上，，，对角线相交于点D，反比例函数经过点D．若的面积为3，的面积为9，则反比例函数的解析式为_____． 20. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，将矩形沿直线折叠，点B恰好落在边上的点P处，连接交于点Q，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_____（填序号）． 三、解答题：本大题6道小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 21. 已知在一个不透明的口袋中，有4个除颜色外形状、大小、质地完全相同的小球，其中有1个红色小球，3个黄色小球． （1）从口袋中随机摸出一个小球（不放回），接着再摸出一个小球．请用树状图或列表法求摸出两个都是黄色小球的概率； （2）小明往该口袋中又放入红色小球和黄色小球若干个（放入红色小球的个数不少于3个），一段时间后，他记不清具体放入红色小球和黄色小球的个数，只记得放入一种小球的个数比另一种小球的个数多1，且从口袋中摸出一个是红色小球的概率为，请问，小明又放入该口袋中红色小球和黄色小球各多少个？ 22. 如图，在梯形中，，点E在上，，且，若，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 23. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4100元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3700元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 24. 已知：在中，以边为直径的交于点D，，垂足为G，交于点E，连接． （1）求证：； （2）点F为线段上一点，连接．若，求证：是的切线； （3）若，的直径，，求的长． 25. 已知如图，在中，，，于D，直线从点C出发沿方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持，直线交于P，交于点M；过点P作，交于Q，交于点N，连接，设运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，？ （2）设四边形的面积为，求出y与t的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使y值最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使点M在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象与x轴交于A，B两点，B点的坐标为，与y轴交于点，动点M、N分别在线段上，点P是直线下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接，，并将沿轴对折，得到四边形．是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积； （4）若的值最小，求点M、N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌海二中2022年中考第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的座位号、姓名等相关信息填写在答题卡的指定位置上． 3．本试卷分试题卷和答题卡，请将答案写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题无效，试题卷自行保留，只交答题卡． 4．答题用0.5毫米的黑色水笔，涂卡用2B铅笔，作图可先用铅笔画出，确认后再用0.5毫米的黑色水笔描清楚，要求字迹工整．严格按题号所示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．严禁折叠、破损，严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带，保持答题卡干净整洁． 一、选择题：本大题12道小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列式子的结果为负数的是 （　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】幂运算的性质：任何不等于0的书店0次幂都等于1；一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数． 绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数． 根据上述性质进行求解即可. 【详解】A、（-2）0=1，是正数； B、-|-2|=-2，是负数； C、（-2）2=4，是正数； D、（-2）-2=，是正数． 故选B． 【点睛】本题考查的知识点较多，涉及知识：一个数的负指数次幂为这个数的正指数次幂的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式除法，积的乘方，同底数幂乘法，二次根式的除法，掌握相关运算法则是解题关键．根据单项式除法法则，积的乘方，同底数幂乘法，二次根式的除法法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（　　） A. 5×1010千克 B. 50×109千克 C. 5×109千克 D. 0.5×1011千克 【答案】A 【解析】 【详解】解：500亿=50000000000=5×1010． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 4. 在△ABC中，∠C=90°，tanA=1，那么cosB等于（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，tanA=1， ∴∠A=45°，∠B=90°﹣45°=45°． ∴cosB=． 故选D． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值． 5. 一组数据3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的中位数和方差分别是（ ） A. 5， B. 5，2 C. 4， D. 4，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差，中位数，平均数，熟练掌握相关概念是解题的关键． 先根据平均数的定义求出，然后根据方差公式和中位数的概念计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 则从小到大排列为3，4，5，6，7， 则中位数为， 方差． 故选：B． 6. 如图所示是由几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左边看去，左边是两个正方形，中间和右边都是一个正方形， 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B. 可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 C. 天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨 D. 抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率意义，根据概率的意义，即可解决，关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量，概率小的有可能发生，概率大的有可能不发生． 【详解】解：A、每个点数出现的机会是相同的， 故错误； B、可能性很小的事件，只是出现的机会比较小，也可能发生，故错误； C、天气预报说明天下雨的概率是，是指降雨这件事发生的可能性是，并不表示下雨的时间占总时间的一半，故错误； D、由于图钉的结构不对称，钉尖触地和钉尖朝上不是等可能事件，所以它们的概率不相等，故正确． 故选：D． 8. 已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求解二元一次方程组中参数的取值范围，求不等式组的解集，通过观察，两式相减可得关于的等式，然后由，列出不等式组，然后解不等式组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得：， 故选：． 9. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知AB=8，∠B=30°，则DE的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：∠C=90°， ∵∠B=30°， ∴∠CAB=60°，AC=AB=， ∴由折叠的性质可得：∠CAD=∠BAD=30°，DE=DC， 设DC=，则AD=，在Rt△ADC中，由勾股定理可得：，解得，即DE=4. 故选A. 10. 如图，在□ABCD中，点M为CD中点，AM 与BD相交于点 N，那么S△DM N∶S□ABCD为 （ ） A. 1∶12 B. 1∶9 C. 1∶8 D. 1∶6 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先根据点M为CD中点，得出DM:DC=1:2，再根据平行四边形的性质求出△DMN∽△BAN，根据相似三角形的性质即可解答． 详解：∵点M为CD中点， ∴DM:DC=1:2， ∵四边形ABCD是□ABCD， ∴DC∥AB，△DMN∽△BAN，DC=AB， ∴DM:AB=1:2，则△DMN和△BAN的高之比为1:2，△DMN与□ABCD的高之比为1:3， ∴ 故选A 点睛：考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 11. 已知下列命题 ①若，则 ②若，则 ③到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ④矩形的对角线相等 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题和定理—原命题、逆命题，根据真假命题的定义，逐个选项进行分析即可得出答案． 交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题，再逐一判断真假命题即可． 【详解】解：①若，则，是真命题，其逆命题为若，则． ∴故此逆命题是真命题； ②若，则|，是真命题，其逆命题为若，则，此逆命题是假命题； ③到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，其逆命题为线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端距离相等，此逆命题是真命题； ④矩形的对角线相等，是真命题，其逆命题对角线相等的四边形是矩形，逆命题均为假命题； 原命题与逆命题均为真命题的有①③，共2个； 故选B． 12. 如图，在中，，，点是边上的动点（不与点重合），过点作，垂足为，且，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，由，得，由，设，则，通过勾股定理得，，所以，再由直角三角形性质可得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴，解得， ∴，则， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故选：． 二、填空题：本大题8道小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡对应的横线上． 13. 已知：m、n是方程的两个实数根，则____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系． 由题意知，，，，将转化为代值计算即可得出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ， ∴， 故答案为： 14. 计算： _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 15. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先算括号内的分式减法，再进行除法运算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 从 ，1，2，3这四个数中任取两个不同的数作为一次函数的系数k、b，所得一次函数的图象不经过第四象限的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当时，一次函数的图象不经过第四象限，然后列表格，最后求概率即可． 【详解】解：由题意知，当时，一次函数的图象不经过第四象限，列表如下； 1 2 3 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中一次函数的图象不经过第四象限共有6种等可能的结果， ∴一次函数的图象不经过第四象限的概率是， 故答案为：． 17. 如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为_____． 【答案】110° 【解析】 【详解】∵∠A=50°， ∴∠BOC=2∠A=100°， ∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC， ∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°， ∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°， 故答案为110°． 18. 如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用三角形中位线定理是解答本题的关键． 根据三角形中位线定理，证明，得到，，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 是的中位线， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 19. 如图，已知四边形的底边AO在x轴上，，，对角线相交于点D，反比例函数经过点D．若的面积为3，的面积为9，则反比例函数的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及反比例函数的几何意义，根据相似三角形的性质以及三角形的面积公式求得的面积是关键． 作于点，可得，可证，然后可得，可知，即可求解. 【详解】解：作于点， 已知的面积为 3，的面积为9， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴反比例函数解析式为：， 故答案为：. 20. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，将矩形沿直线折叠，点B恰好落在边上的点P处，连接交于点Q，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_____（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和直角三角形中，的角所对直角边是斜边的一半．主要利用了转化思想和等量代换． 先由与的关系，得出与的关系为．再由折叠得到，．由于是直角三角形，可知．最后在几个直角三角形中，利用的角所对直角边是斜边的一半，求出各线段长度的关系，进而判断出结论正确与否． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ． 是由折叠得到的， ，，，，， 在中，， ，， ， ， ， 在中，，， 故①正确，④正确． 在中，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故③错误． ， ， 即， 故②正确； 故正确的是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本大题6道小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 21. 已知在一个不透明的口袋中，有4个除颜色外形状、大小、质地完全相同的小球，其中有1个红色小球，3个黄色小球． （1）从口袋中随机摸出一个小球（不放回），接着再摸出一个小球．请用树状图或列表法求摸出两个都是黄色小球的概率； （2）小明往该口袋中又放入红色小球和黄色小球若干个（放入红色小球的个数不少于3个），一段时间后，他记不清具体放入红色小球和黄色小球的个数，只记得放入一种小球的个数比另一种小球的个数多1，且从口袋中摸出一个是红色小球的概率为，请问，小明又放入该口袋中红色小球和黄色小球各多少个？ 【答案】（1） （2）小明放入该口袋的红球有8个，黄球有9个 【解析】 【分析】此题考查了树状图与列表法，分式方程的应用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）列表得到所有等可能的情况数，找出两个都是黄球的个数，即可求出所求的概率； （2）设放进去的有个球，则另一种球有个，根据题意列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到红球与黄球的个数． 【小问1详解】 解：列表如下： 红 黄 黄 黄 红 （黄，红） （黄，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （黄，黄） （黄，黄） 所有等可能的情况数有12种，其中两个都是黄球的有6种， 则两次都是黄球； 【小问2详解】 解：设放进去个球，则另一种球有个， 根据题意得：红球概率为或， 当时，； 经检验，是原方程的解， 当时，， 经检验，是原方程的解， 放入红色小球的个数不少于3个 小明放入该口袋的红球有8个，黄球有9个． 22. 如图，在梯形中，，点E在上，，且，若，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点分别作，交于点，求得，再证明四边形为矩形，即可得到，再解直角三角形即可解答； （2）求得，再利用梯形面积公式即可． 【小问1详解】 解：如图，过点分别作，交于点， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ； 【小问2详解】 解：， 的面积为． 23. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4100元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3700元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每台型电脑的销售利润为110元，每台型电脑的销售利润为150元 （2）①；②商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握． （1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售10台型和20台型电脑的利润为4100元，销售20台型和10台型电脑的利润为3700元列出方程组，然后求解即可； （2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解； ②根据型电脑的进货量不超过型电脑的2倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可． 【小问1详解】 解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元； 根据题意得， 解得． 答：每台型电脑的销售利润为110元，每台型电脑的销售利润为150元； 【小问2详解】 解：①根据题意得，， 即， B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ， 解得， y关于x的函数关系式为； ②， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，取最大值，则， 此时最大利润是． 即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是元． 24. 已知：在中，以边为直径的交于点D，，垂足为G，交于点E，连接． （1）求证：； （2）点F为线段上一点，连接．若，求证：是的切线； （3）若，的直径，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，可得，利用等角的余角相等即可解答； （2）连接，根据，可得，，利用角度转换得到，即可解答； （3）连接，利用三角形面积公式求得，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为直径， ， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； 【小问3详解】 解：如图，连接， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， 根据三角形面积公式可得， ， 根据勾股定理可得， ， ， 25. 已知如图，在中，，，于D，直线从点C出发沿方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持，直线交于P，交于点M；过点P作，交于Q，交于点N，连接，设运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，？ （2）设四边形的面积为，求出y与t的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使y的值最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使点M在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意，然后在和中，得，在和中，得，联立方程求解即可； （2）根据题意四边形的面积：，表示出各个三角形面积即可求解； （3）根据（2）中用配方法化简即可求解； （4）假设存在某一时刻，使在线段 的垂直平分线上，则，作于点，则，可证，得，，联立等式求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴ 又 ∵， ∴，， ∴， ∴ 又 ∵， ∴ 已知， ∴，根据勾股定理得： 在和中， ∵， ∴ 在和中， ∵， ∴ 又 ∵， ∴ 解得： ∴ 当时，； 【小问2详解】 在和中， 在和中， ， 四边形的面积： ∵ 【小问3详解】 由， 配方得： ∴ 当时， 取得最大值 【小问4详解】 假设存在某一时刻，使在线段 的垂直平分线上，则，作于点，则 ∵，， ∴ ∴ ∴ 解得 又，即 ∴且 即 解得 故存在时，点在线段的垂直平分线上 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形面积的计算，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，B点的坐标为，与y轴交于点，动点M、N分别在线段上，点P是直线下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接，，并将沿轴对折，得到四边形．是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积； （4）若的值最小，求点M、N的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3）点运动到点时，四边形的面积最大，其最大值为 （4）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，菱形性质，轴对称的性质，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先根据点坐标求出，再将点坐标代入二次函数解析式中求出，即可得出结论； （2）连接交轴于，根据菱形的性质判断出点是的中点，进而求出点的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论； （3）设出点的坐标，进而利用梯形的面积三角形的面积得出相关解析式，即可得出结论； （4）作点关于轴的对称点，连接，当三点共线，且时，最小，利用一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：二次函数与轴的交点， ， 二次函数的解析式为， 点在二次函数图象上， ， ， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：存，理由：如图1， 连接交轴于， 四边形为菱形， ，， 点， ， ， 点的纵坐标为， 由（1）知，二次函数的解析式为， ， 或， 点在直线下方的抛物线上， ， 点； 【小问3详解】 解：如图2，过点作轴于，交于点， 由（1）知，二次函数的解析式为， 令，则， 或， ， 设直线的解析式为， 把代入直线， 可得， 解得，， 直线的解析式为， 设，， ， ， 当时，四边形的面积最大，最大值为，此时，， 即点运动到点时，四边形的面积最大，其最大值为； 【小问4详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，则， ， 则可得， ， 当三点共线，且时，最小， ， ， ，即， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入直线解析式可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 联立方程， 解得， ， ∴当的值最小，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $