精品解析：广东省东莞市沙田实验中学2022-2023学年 九年级下学期数学初高中衔接卷

数 学 本试卷共4页，22小题，满分150分，用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（ ） A. B. 分别与相交与相交或平行 C. D. 分别与相交或平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 2. 在菱形中，，分别取，，，的中点，，，，得到四边形，接着再取四边形各边中点，所围成的图形为（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，菱形的判定与性质以及三角形的中位线定理，熟记各定理是解题的关键．先根据三角形中位线定理结合证明，得证四边形为菱形，进而根据菱形的对角线互相垂直，结合平行线的性质可得证，从而得证四边形为正方形，同理可证明四边形各边中点所围成的图形为正方形． 【详解】解：如图，∵点、、、分别是、、、的中点， ，，，，，， ， ， 四边形为菱形， 四边形是菱形， ， ， ， 又， ，即， 四边形为正方形， 同理可证，四边形各边中点所围成的图形为正方形． 故选：D． 3. 已知，，，则（ ） A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. b < c < a 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数的大小比较． 先估算，再进行比较即可． 【详解】解：，，， ∴． 故选A． 4. 《神农尝百草》是中国第一部完整的药物学著作，它将所记载的草分为上、中、下三品，小明将从其中上品中的人参，甘草、中品中的百合，当归、下品中的乌头、大英抽取两种草药进行研究，则小明在一次性抽取过程中抽到一个中品、一个下品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 记上品中的人参（），甘草（）、中品中的百合（），当归（）、下品中的乌头（）、大英（），画出树状图后，求出所有一次性抽取可能得情况及一次性抽取过程中抽到一个中品、一个下品的情况即可得解． 【详解】解：记上品中人参（），甘草（）、中品中的百合（），当归（）、下品中的乌头（）、大英（）， 由题意知，一次性抽取表明抽出后不放回， 得 则一次性抽取过程抽取两次的情况共（种）， 一次性抽取过程中抽到一个中品、一个下品的情况共（种）， 故抽到一个中品、一个下品的概率为 ． 故选：． 5. 甲、乙两队修建一条的公路，已知甲队修建速度是乙队的3倍，甲队包揽该任务的． 完成任务时，乙队比甲队慢了，则乙队修建速度为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙队修建速度为，则甲队修建速度为，由题意知，甲队修建长度为，乙队修建长度为，再根据完成任务时，乙队比甲队慢了，可列出分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设乙队修建速度为，则甲队修建速度为， 由题意知，甲队修建长度为，乙队修建长度为， 则可通过时间、路程、速度之间的关系列出方程：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 即乙队修建速度为． 故选：B． 6. 数学文化无处不在，其中莱洛三角形就给人以对称的美感． 画法如下：取一等边三角形，以其中一点为圆心，边长为半径画过另外两点的弧，以此类推，得到三个圆弧的封闭图形． 若莱洛三角形的周长为，则它的面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义——莱洛三角形．熟练掌握等边三角形性质，勾股定理，弧长公式，扇形面积公式，三角形面积公式，是解题的关键． 根据等边三角形性质得，得，设，求出，过点A作于点D，得，由勾股定理得，由即可得解． 【详解】解：设莱洛三角形为，连接，过点A作于点D， 则， ∴， 设， 由弧长公式知， ， ∴， ∵， ∴ ∴ ， 故选：B． 7. 将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律进行解答即可． 【详解】解：∵， 图象如图， 函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为 故选：D 8. 在直径为的中，，于E，，F为中点，过点C作交于点B，G为l上一点，则周长最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合，轴对称-最短路线问题的应用，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．由于的位置变化不明确，故分类讨论：①当在点O的左侧时，如图1，连接，由垂径定理得，，周长为，其中为定值1，则只需求的最小值即可，G为动点，故过C作关于l的对称点（点B、C、三点共线），连接，由对称得：，，则当点F、G、三点共线时，有的最小值为，此时周长为，证明得，即可求得，再由勾股定理求出，进而可得答案；②当在点O的左侧时，如图2，周长的最小值解法与情形①类似． 【详解】解：由于的位置变化不明确，故分类讨论： ①当在点O的左侧时，如图1，连接， ∵在直径为的中，，于E，， ∴，，， ∵F为中点， ∴，， 周长为，其中为定值，则只需求的最小值即可， G为动点，故过C作关于l的对称点（点B、C、三点共线），连接， 由对称得：，， 则当点F、G、三点共线时，有的最小值为， 此时周长为， ∵， ∴，， ， 由于，， 故点E和点F重合，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故， 则周长最小值为； ②当在点O的右侧时，如图2， 周长的最小值解法与情形①类似， G为动点，故过C作关于l对称点（点B、C、三点共线），连接，， 由对称得：，， 则当点F、G、三点共线时，有的最小值为， 此时周长为， 其中为定值， 过作交延长线于点K， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 故， 则周长最小值为； 综上，由于，故周长最小值为． 故选：B． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 魔方是现代盛行的智力游戏之一，深受人们青睐． 现用下图所示的魔方模板图制成正方体魔方，则制成该魔方后点F与点（ ）重合 A. H B. K C. M D. N 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了正方体几种展开图的识别，根据题目的展开图，想象组成的正方体，即可作答． 【详解】解：选取以面作下底面，如图所示： 随后结合正方体的结构特征可知点F与点K、N重合， 故选：． 10. 为推进绿色可持续发展，促进碳中和目标的实现，某城市记录6月份其中10天的空气质量测量值（如下表） 日期 4 7 9 11 13 16 20 23 25 29 30 29 40 41 32 18 41 27 52 72 则下列说法正确的是（ ）（注：等级：0 ~ 30：“优”，31 ~ 50：“良”，51 ~ 100：“污染”） A. “优”天数所占数据频率为0.4 B. 该数据中位数为36 C. 估计6月份“污染”天数为6 D. 该数据方差为22.5 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查了统计表，数据频率、中位数、样本估计总体、平均数和方差等知识，根据数据频率、中位数、样本估计总体、平均数和方差等相关知识，结合统计表数据逐项判断即可． 【详解】解：A．“优”天数为4，则所占数据频率为，正确； B．总天数为偶数，将这组数据从小到大排列后，取中位数为对应第5（32）和第6（40）的平均数，即，正确； C．表中“污染”天数为2天，由于6月份共30天，故估计6月份“污染”天数为，正确； D．方差设计到平均数，平均数，方差，错误． 故选：ABC． 11. 在锐角中，角，，的对边为，，，且当为直角时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，三角形三边关系与不等式的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据算术平方根的定义可判断A选项；利用三角形的面积公式和锐角三角函数可判断B选项；根据三角形三边关系与不等式的性质可判断C选项，通过解直角三角形与等比的性质可判断D选项． 【详解】解：A、显然，，均大于， 则， 故A选项正确； B、由锐角，得， 则， 故B选项错误； C、由三角形构成条件知，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得： ，，则有，， 故， 故C选项错误； D、如图，过B作于D，则，， 从而，由等比性质可得，正确． 故选：AD． 12. 已知函数交坐标轴于点，其中，，则（ ） A. 时，或 B. 点与函数的对称中心的距离为 C. 将旋转，此过程中关于的方程的解个数最多为，最少为 D. 上存在点，使得面积存在最大值且小于 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数综合，反比例函数与三角形综合，平面内两点之间的距离，解题的关键是根据系数的正负性判断反比例函数图形特征．根据完全平方式结合已知、的取值范围，得到的取值，从而可得到的解析式，再结合反比例函数图象特征判断的取值范围，即可判断A选项；根据坐标系中点对称点特征以及两点之间的距离公式求解，即可判断B选项；关于的方程的解个数等价于函数与的交点个数，通过观察在旋转过程中图形的交点个数来判断解的个数，即可判断C选项；易知面积为，所以分类讨论点与点、与点的对称点的位置关系来判断面积的最值情况，即可判断D选项． 【详解】解：根据，得， ，， ， ， ，则， A．当时，，即， 如图，可知当时，或，故选项正确； B．如图，记函数的对称中心，则，故选项错误； C．由题意得，关于的方程的解个数等价于函数与的交点个数，取特殊情 形，如图，此时解个数最少为1；如图2，此时解个数最多为，故选项正确； D．面积为， 如图，当点在点右侧时，面积最小值大于面积，故面积有最小值且大于， 同理，若点关于点的对称点为，则当在点和点之间时，面积最大值小于面积为，故面积有最大值且小于， 当点在点左侧时，面积最小值大于面积，故面积有最小值且大于， 故选项错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 为完成研究性学习，老师计划将小红，小明，小勇，小燕四名同学分配至甲地、乙地、丙地、丁地四个地点，其中四人必须选择不同地点． 以下为四人关于地点选择的意愿：①小红：不去乙地；②小明：甲地、乙地均不去；③小勇：不去丙地；④小燕：其余三人先选，剩下的地点我去；若四人中小勇说谎了，其余都是真的，则在完全尊重四人意愿的原则上，老师将会把小红分配到______． 【答案】甲地 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，根据小勇说谎了可知小勇实际去了丙地，进而可得小明去了丁地，即可得小红去了甲地，即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵四人中小勇说谎了， ∴小勇实际去了丙地， ∵除了小勇外，其余都是真的， ∴小明去了丁地， ∴小红去了甲地， 故答案为：甲地． 14. 边长为的正八边形面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将正八边形补成正方形，求出正八边形的其中一个内角后，结合正方形性质、勾股定理即可求出正方形边长，则边长为的正八边形面积正方形面积． 【详解】解：如下图，将正八边形补成正方形， 由正八边形的性质可得：， ， 又正方形中，，正八边形的边长为， ， 正方形的边长，正方形面积， ， 边长为的正八边形面积正方形面积． 故答案：． 【点睛】本题考查知识点是求正多边形内角问题、正方形性质、勾股定理，解题关键是将正八边形补成正方形求解． 15. 在中，，的角平分线分别交线段、中线于点、，则三角形与三角形的面积之比为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由三线合一，结合已知可得是的中位线，从而可证，对应边成比例，根据三角形面积与边长之间的关系，可得，，，从而可得三角形与三角形的面积之比． 【详解】解：∵，平分， ∴点是的中点， ∵在中，是中线， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴三角形与三角形的面积之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三线合一，三角形的中位线，平行线的性质，三角形相似的判定和性质． 16. 已知（已知的长度均大于，且均为锐角），点在点的上方，记，则两点间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用余弦定理解三角形，分两种情况：在中间或在下方，作出图象，利用余弦定理即可求得两点间距离． 【详解】解：①若在中间，如图： 则， 在中，由余弦定理得； ②若在下方，如图： 则， 在中，由余弦定理得； 综上，， 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某位患有疾病的甲病人第一次使用药物后药物效能（单位：）与服用时间（时间：）的变化关系为（如图）． 已知时效能最高到达，且自第次服药后效能最多提高，且当药效下降至时需再次服药，使得与的正比例关系呈现同样的图象形状． （1）求，，； （2）第三次服药时离第二次服药间隔为多久？ 【答案】（1），，； （2）第三次服药时离第二次服药间隔为． 【解析】 【分析】（1）结合函数图象，利用待定系数法即可求出，，的值； （2）设第二次服药后药效最大为时，药效达到时，，分别表示出第二次服药效能逐渐增强和减弱的函数，再根据函数上的点的特征求出第三次服药、第二次服药的具体时间即可得解． 【小问1详解】 解：当时，过， ， 当时，过， ， 过， ． 故，，． 【小问2详解】 解：设第二次服药后药效最大为时，药效达到时，， 当时，设， 由于过，故有，则，又过， 故， 当时，设，由于过，故，则， 又过，故， 第三次服药时离第二次服药间隔为． 【点睛】本题考查的知识点是从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用，解题关键是正确理解题意，分段讨论． 18. 如图，在以为直径的中，点为上一点，延长至点，使得，连接交于点，过点作交延长线于点，其中． （1）当时，是否为的切线，请说明理由； （2）当时，求证：． 【答案】（1）不是的切线，理由见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）连接，利用反证法解题，先假设是的切线，结合直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、等边对等角推出，结合正切函数可得、，则，再由全等三角形的判定和性质推得，两者矛盾，即可证不是的切线 ； （2）由特殊角的三角函数值得，证明是等边三角形，由等边三角形的性质证明，最后结合勾股定理即可得证． 【小问1详解】 解：当时，不是的切线 ． 连接， 若是的切线，则， 由直径得：， 又， 则有， ， 为的直径， ，即， 又， ，即， ， ， 又由圆周角定理知，， ， ， 则， ， ， 在和中， ， ， ，则， 两者矛盾，故不是的切线． 【小问2详解】 解：当时，有， 由得，， 又， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， 即． 【点睛】本题考查的知识点是反证法、切线定义、直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、等边对等角、正切函数的定义、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，解题关键是运用反证法证明． 19. 在矩形中，，过点D作于E，一点Q从点D沿运动至点B，请分析并画出的面积为S关于Q点运动路程为l的函数图象． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，动点函数图象问题，三角形面积，由勾股定理求出的长，由面积关系求出，由勾股定理求出，得，分点在、、上运动这三段情况，分别得出的面积与点运动路程的关系． 【详解】解：在矩形中，，， 由勾股定理得， 对于，有， 又，， ∴， ． 在中，， ∴． 分三种情况： ①点Q在上时，当Q与D重合时，延长交过点B的与平行的直线于点G，过B作于F，易得， ∴ ∵， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∴ 随着点Q逐渐逼近点E，底减小，而高不变，故此时S于l呈一次函数关系，且Q点与E点重合时，． ②当Q在上时，，其中当点Q点逐渐逼近点C时，减小，高不变，故此时S与l呈一次函数关系，当Q点与C点重合时，有． ③当Q在上时，过点E作与点H，则，其中当点Q逐渐逼近点B时，减小，高不变，故此时S与l呈一次函数关系，当Q点与C点重合时，． ∴的面积为S关于Q点运动路程为l的函数图象为 20. 数学源于生活，用于生活．在东莞市某镇的广场上，小明发现一休憩处．出于好奇，他打算测休憩处顶面最左端的点C（如图）与地面的距离． 测量方式如下：过点C作与地面的垂线，测量点A处的仰角，随后向北走2m到达点B，测量点B处的仰角，其中． 【建构模型】（1）在锐角中，角A，B，C的对边为a，b，c，则用边表示． 【实际应用】（2）若，则求点C与地面的距离． 【优化方案】（3）若只测B处的仰角（其中），且，求点C与地面的距离（取整数值）． 【答案】（1）；（2）；（3）点C与地面的距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解一元二次方程； （1）在中，过点C作于M，设，则，根据勾股定理得到， 整理得，则； （2）设，即，由（1）结论得，解得，再根据求解即可； （3）设，即，根据，得到，再在中，由三角形组成条件得，即可得到，最后求出，根据为正整数求解即可． 【详解】解：（1）在中，过点C作于M，设，则， 在和中，， ∴， 整理得， ∴； （2）由（1）结论得， 设，即， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）设，即， ∵，， ∴， ∴， 在中，由三角形组成条件得， 解得， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵为正整数， ∴点C与地面的距离为． 21. 如图，在边长为的正方形中，为上一点，将梯形沿翻折得到梯形，连接交、于、． （1）探究翻折性质：求证：垂直平分，并寻找与的关系； （2）探索动点规律：求点的运动轨迹长度； （3）综合运用知识：当时，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析，与的关系为； （2）点的运动轨迹长度为 （3）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）延长交于，由翻折的性质可得，，从而可得，即可证得结论，由正方形的性质，结合翻折的性质可得，从而可得，，进而可得与的关系； （2）连接，，分析运动过程，可得点的运动轨迹是以为圆心，半径为，圆心角为的弧， 根据扇形的弧长公式计算即可； （3）作于点，过点，分别作，轴交于点，，分别交过点的平行的直线于，，则四边形为矩形，可证，，对应边成比例，可得，，，，作于点，设，，根据勾股定理，结合矩形的性质可得，，从而可得，，代入面积公式，计算，即可得四边形的面积． 【小问1详解】 解：延长交于，由折叠得，， ∴， ∴，， 又∵， ∴垂直平分． ∵四边形是正方形，为上一点， ∴， ∴ 由翻折的性质可得，，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，， 由（1）得垂直平分，且， 又，， ∴，且， ∴垂直平分． ∴， 即在运动过程中不变， 当运动至点时，点与关于对称， ∴点的运动轨迹是以为圆心，半径为，圆心角为的弧， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹长度为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 作于点，则， 过点，分别作，轴交直线于点，，分别交过点的平行的直线于，，则四边形为矩形， ∵在正方形中，， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 在正方形中，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， 又， ∴， 作于点， 设，，，， 则， 解得， ∴，， ∴，， ∴ ． ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，垂直平分线的判定及性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定及性质，四边形面积的求解问题． 22. 在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线交直线于A、，交轴于点，其中，且对于任意实数，都有． （1）求函数的解析式； （2）若点满足，则求出到距离的最大值； （3）将逆时针旋转得到，则求出与交点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对于任意实数，都有可得顶点纵坐标为，又根据A在上，可求其横坐标为4，设，代入得，从而得到函数y的解析式； （2）结合两点间距离公式可知点在以点为圆心，半径为的圆上．过作直线于，延长交于，此时到距离最大．证明与相切于点，从而可得到距离的最大值为； （3）求出C的坐标，求出的解析式；易知为等边三角形，，据此用两点间距离公式列出关于横纵坐标的方程组，解方程组即可得到坐标，再求出直线的解析式，联立与的解析式即可求得交点K的坐标． 本题考查二次函数表达式的求解，两点间距离公式的应用，一元一次函数的应用，圆的性质的应用，熟练掌握这些知识是解题关键． 【小问1详解】 解：对于任意实数，都有，即二次函数有最大值， ∴抛物线开口向下，且其顶点纵坐标为， 设，又在上， ∴，即， 设抛物线， 过， ∴，解得， ； 【小问2详解】 解：点满足，故， 此方程在几何意义上表示动点到定点的距离恒为， 即点在以点为圆心，半径为的圆上． 过作直线于，延长交于，此时到距离最大． 设交轴于点，则，设交轴于点，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 轴， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 与相切于点， 到距离的最大值为； 【小问3详解】 解：对于，当时，， ， 设解析式为，则， ， ， 由旋转得：，， ∴为等边三角形，， 则有，即 解得， 设解析式为，则， ， ， 联立， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 本试卷共4页，22小题，满分150分，用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（ ） A. B. 分别与相交与相交或平行 C. D. 分别与相交或平行 2. 在菱形中，，分别取，，，的中点，，，，得到四边形，接着再取四边形各边中点，所围成的图形为（ ） A 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 3. 已知，，，则（ ） A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. b < c < a 4. 《神农尝百草》是中国第一部完整的药物学著作，它将所记载的草分为上、中、下三品，小明将从其中上品中的人参，甘草、中品中的百合，当归、下品中的乌头、大英抽取两种草药进行研究，则小明在一次性抽取过程中抽到一个中品、一个下品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两队修建一条的公路，已知甲队修建速度是乙队的3倍，甲队包揽该任务的． 完成任务时，乙队比甲队慢了，则乙队修建速度为（ ） A. 5 B. C. D. 6. 数学文化无处不在，其中莱洛三角形就给人以对称美感． 画法如下：取一等边三角形，以其中一点为圆心，边长为半径画过另外两点的弧，以此类推，得到三个圆弧的封闭图形． 若莱洛三角形的周长为，则它的面积为 （ ） A. B. C. D. 7. 将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（ ） A. B. C. D. 8. 在直径为的中，，于E，，F为中点，过点C作交于点B，G为l上一点，则周长最小值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 魔方是现代盛行的智力游戏之一，深受人们青睐． 现用下图所示的魔方模板图制成正方体魔方，则制成该魔方后点F与点（ ）重合 A. H B. K C. M D. N 10. 为推进绿色可持续发展，促进碳中和目标的实现，某城市记录6月份其中10天的空气质量测量值（如下表） 日期 4 7 9 11 13 16 20 23 25 29 30 29 40 41 32 18 41 27 52 72 则下列说法正确的是（ ）（注：等级：0 ~ 30：“优”，31 ~ 50：“良”，51 ~ 100：“污染”） A. “优”天数所占数据频率为0.4 B. 该数据中位数为36 C. 估计6月份“污染”天数为6 D. 该数据方差为22.5 11. 在锐角中，角，，的对边为，，，且当为直角时，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数交坐标轴于点，其中，，则（ ） A 时，或 B. 点与函数的对称中心的距离为 C. 将旋转，此过程中关于的方程的解个数最多为，最少为 D. 上存在点，使得面积存在最大值且小于 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 为完成研究性学习，老师计划将小红，小明，小勇，小燕四名同学分配至甲地、乙地、丙地、丁地四个地点，其中四人必须选择不同地点． 以下为四人关于地点选择的意愿：①小红：不去乙地；②小明：甲地、乙地均不去；③小勇：不去丙地；④小燕：其余三人先选，剩下的地点我去；若四人中小勇说谎了，其余都是真的，则在完全尊重四人意愿的原则上，老师将会把小红分配到______． 14. 边长为的正八边形面积为__________． 15. 在中，，的角平分线分别交线段、中线于点、，则三角形与三角形的面积之比为__________． 16. 已知（已知的长度均大于，且均为锐角），点在点的上方，记，则两点间的距离为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某位患有疾病的甲病人第一次使用药物后药物效能（单位：）与服用时间（时间：）的变化关系为（如图）． 已知时效能最高到达，且自第次服药后效能最多提高，且当药效下降至时需再次服药，使得与的正比例关系呈现同样的图象形状． （1）求，，； （2）第三次服药时离第二次服药间隔为多久？ 18. 如图，在以为直径的中，点为上一点，延长至点，使得，连接交于点，过点作交延长线于点，其中． （1）当时，是否为的切线，请说明理由； （2）当时，求证：． 19. 在矩形中，，过点D作于E，一点Q从点D沿运动至点B，请分析并画出的面积为S关于Q点运动路程为l的函数图象． 20. 数学源于生活，用于生活．在东莞市某镇的广场上，小明发现一休憩处．出于好奇，他打算测休憩处顶面最左端的点C（如图）与地面的距离． 测量方式如下：过点C作与地面的垂线，测量点A处的仰角，随后向北走2m到达点B，测量点B处的仰角，其中． 【建构模型】（1）在锐角中，角A，B，C的对边为a，b，c，则用边表示． 【实际应用】（2）若，则求点C与地面的距离． 【优化方案】（3）若只测B处的仰角（其中），且，求点C与地面的距离（取整数值）． 21. 如图，在边长为的正方形中，为上一点，将梯形沿翻折得到梯形，连接交、于、． （1）探究翻折性质：求证：垂直平分，并寻找与关系； （2）探索动点规律：求点的运动轨迹长度； （3）综合运用知识：当时，求四边形的面积． 22. 在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线交直线于A、，交轴于点，其中，且对于任意实数，都有． （1）求函数的解析式； （2）若点满足，则求出到距离的最大值； （3）将逆时针旋转得到，则求出与交点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $