3.3.1抛物线及其标准方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，课堂导入从初中二次函数、物理平抛轨迹、生活中桥梁喷泉等实例切入，通过“想一想”问题链衔接椭圆双曲线知识，搭建探究支架引导学生自主构建概念。 其亮点是问题驱动与数形结合，结合生活物理实例培养数学眼光，类比推导方程发展数学思维，卫星天线应用体现数学语言表达，含概念辨析和德育渗透，小结清晰。助学生深化理解，教师易高效实施教学。

我们在哪些地方见过或研究过抛物线？ 1、初中时我们学过二次函数， 它的图象是抛物线； y x o 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹； 3、实际生活中如桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。 进入抛物线的内部世界 §3.3.1抛物线及其标准方程 平面内一个动点M 到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离之比为常数e 1.当 0<e<1 时，点M的轨迹是什么形状？ 椭圆 2.当 e>1 时，点M的轨迹是什么形状？ 双曲线 3.当 e=1时，点M的轨迹会是什么形状呢？ 想一想 问题1：点M的轨迹是什么形状？ 问题2：定点F与直线l有着怎样的关系？ 定点F不在直线l上 抛物线 问题3：若定点F在直线l上，点M的轨迹又是什么？ 想一想 l F M ┑ 若定点F在直线l上，点M的轨迹是： 过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 请同学们归纳抛物线的定义： 平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F)的距离相等的点M的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. F l M 焦 点 准线 抛物线的定义可以归结为： 一 动 三 定 想一想 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何选择坐标系，建立抛物线的方程？ F M x x M M x y y y o o o 方案一 方案二 方案三 F M l H · · x y ①建系 如图，以过点且垂直于直线 的直线为轴, 垂足为 以的中点为坐标原点建立直角坐标系. K O ②设点 设是抛物线上任意一点，点到的距离 为．则焦点的坐标为,准线的方程为 ③列式 ④化简 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 所以=两边平方,整理得 ， 其中为正常数，它的几何意义是: 焦点到准线的距离． 方程 表示焦点在轴正半轴上的抛物线． 焦点坐标是:_________ 准线方程为:_______ 开口方向：_____ 向右 p的几何意义是：___________________ 焦点到准线的距离(焦准距). 想一想 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表. 抛物线的开口可向右，向上，向左，向下，怎么得到对应的抛物线的标准方程呢？ x y o 图 形 焦点位置 轴的 正半轴上 轴的 负半轴上 轴的 正半轴上 轴的 负半轴上 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=-2px (p＞0) x2=2py (p＞0) x2=-2py (p＞0) 1.抛物线四种标准方程的共同特点： 想一想 （1）顶点为_____； （2）对称轴为_____； (3）p为大于0的常数，其几何意义表示_____； (4）准线与对称轴_____，垂足与焦点关于_____对称； （5）原点 与准线及焦点的距离都等于_____. 坐标原点 坐标轴 焦准距 垂直 原点 2.已知抛物线标准方程，如何确定抛物线焦点位置及开口方向？ ①焦点在一次项字母对应的坐标轴上. ②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向. 一：概念辨析 (1)平面内到定点距离与定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线. （ ） (2)若动点P到定点F(2,1)的距离等于它到定直线：2x+y-3=0 的距离相等，则动点P轨迹是一条抛物线. （ ） × √ 想一想 二次函数y=a (a 0)的图象为什么是抛物线？找出它的焦点坐标和准线方程. 例1.(1)已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点是，求它的标准方程. 二：例题讲解 解：(1)因为，抛物线的焦点在轴正半轴上， 所以它的焦点坐标是，准线方程是. (2)因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，， 所以抛物线的标准方程是 即学即练：根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点坐标是F（0，1） (2)焦点在直线3x-4y-12=0上 (3) 抛物线过点A（-3，2） 解： (1)抛物线的方程是x2=4y (2)抛物线的方程是y2=16x或x2=-12y (3)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时， 把A（-3，2）代入x2 =2py，得p= 当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2） 代入y2 = -2px，得p= ∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 =-x 例2 ：一种卫星接收天线的轴截面如图所示, 其曲面与轴截面的交线为抛物线. 在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处. 已知接收天线的口径(直径)为4.8m, 深度为1m. 试建立适当的坐标系, 求抛物线的标准方程和焦点坐标. x y A B F 解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，焦点在轴上. 设抛物线的标准方程是.由已知条件得，点的坐标是，代入方程，得，即. 所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是 小 结 ： 1、学习了一个概念－－抛物线 2、掌握了一种题型－－ 有关抛物线的标准方程和它的焦点坐标、准线方程的求法 3、注重了一种思想－－数形结合 抛物线由焦点和准线决定，人生也需要明确 目标。没有目标的人生容易迷失方向，而清晰 的方向能够帮助我们在曲折中保持前进动力. 下课！ Lavf58.20.100 Lavf58.76.100 $