2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛一试+加试试题（B卷）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试试题（B卷) 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设集合A={a21a∈Z,a2≥2025}，B={21b∈Z,9≤b≤14}，则AnB的 元素个数为 2.若sin20°sin25°+sina=cos20°cos25°，则cos2a的值为 3.若1ogx,log(3x),log2,(9x)成等比数列，则正数x的值为 4.设复数z满足z+i与z2+2i均为实数(i为虚数单位)，则z3+3i的值 为 5.若x,y>0且x+y=1,则y+1++2的最小值为 y 6设R,片分别为椭圆r手+茶=1a>b>0)的左、右焦点，若r上存在 一点P,使得直线FP,F,P的斜率分别为，2，则r的离心率为 7平面中的3个单位向量a6满足a6之分≤-分则+5+的最 大值与最小值之和为 8.从20个数1,2,3，…，20中选出4个不同的数（不计顺序），使它们的乘积为 2025的倍数，则不同选法的数目为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 9.(本题满分16分)设f(x)是定义域为R的函数，g(x)=(x-1)f(x), h(x)=f)+x.若g)为奇函数，(x)为偶函数，求0f3)f9的值. f(2)f(4)…f(100) 10.(本题满分20分)在平面直角坐标系中，一条过点(0，)的直线1经过点 集r={x,川y=x+3x中的四个点(x,y)0=12,3,4).求1+⊥+L+1 X1 X2 X3 X4 的取值范围. 11.(本题满分20分)对整数n≥3，在一个棱长均为1的正n棱柱的所有3n 条棱中，随机选取两条不同的棱1，，将事件“1所在直线与1，所在直线平行”发 生的概率记为P.是否存在两个不同的正整数k,1(k,1≥3)满足P=P？证明你 的结论 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2025年全国高中数学联合竞赛 加试试题（B卷) 一.（本题满分40分）设a,b,c>0,a+b+c=3,记 S=a+ab+abc+bc+c. (1)证明：S≤5； (2)若=3，求b的取值范围. 二.（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠BAC平 分线上的两点E,F满足∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圆与 △AEC的外接圆交于A及另一点P.证明：A,P,D三点共线. (答题时请将图画在答卷纸上) 三.（本题满分50分)给定整数n≥2.设A是由n个不同的正整数构成的 集合，记m为集合B={x+z|x,y,z∈A的元素个数.证明：m≥n2+n-1,并 且存在集合A使得m=n2+n-1. 四.（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数n:存在n的一个倍数 N,其在十进制表示下含有0,1,2，…，9中每一个数码，并且对任意 i∈{0,1,2，…，9}，可以删去N的十进制表示中的一个数码i,使所得的数仍是n 的倍数.