23.2第2课时　仰角、俯角问题 课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

23.2　解直角三角形及其应用 第2课时　仰角、俯角问题 第23章　解直角三角形 讲授新课 解与仰俯角有关的问题 一 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°. 典例精析 Rt△ABD中，a =30°，AD＝ 120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度. 3 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m. A B C D α β 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）. A B C D 40m 54° 45° A B C D 40m 54° 45° 解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD=90°， BC=DC=40m. 在Rt△ACD中 ， ∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m). 练一练 例3 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ B D C′ C 解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m. ∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设 AB′=x m. D′ A B′ B D C′ C 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8， cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75） A B 37° 45° 400米 P 练一练 A B O 37° 45° 400米 P 设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°， 在Rt△POA中，∠PAB=37°， OB=PO= x米. 解得x=1200. 解：作PO⊥AB交AB的延长线于O. 即 故飞机的高度为1200米. 课堂小结 利用仰俯角解直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形解决仰角、俯角问题 模型一 模型二 模型三 模型四 仰角、俯角问题的常见基本模型： A D B E C 1. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　A　） 　 （第1题） A A. a sin θ千米 B. 千米 C. a cos θ千米 D. 千米 1 2 3 4 5 6 7 2. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度约是 　51　m（参考数据：tan63°≈2）. 　 （第2题） 51　 1 2 3 4 5 6 7 3. 如图，一座小山顶的水平观景台的海拔为1600m，小明想利用这个观景台测量对面山顶点C处的海拔.他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得点C的仰角∠CAE＝42°，再在水平线AE上选一点B，在点B处测得点C的仰角α＝45°，AB＝10m.求山顶点C处的海拔（小明身高忽略不计，参考数据： sin 42°≈0.67， cos 42°≈0.74，tan42°≈0.90）. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 解：如图，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D. 设BD＝xm.∵ AB＝10m，∴ AD＝AB＋BD＝（10＋x）m.在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴ CD＝BD＝xm.在Rt△ACD中，∠A＝42°，tanA＝ ，∴ CD＝AD·tan42°≈0.9（10＋x）m.∴ x＝0.9（10＋x），解得x＝90.∴ CD＝90m.∵ 小山顶的水平观景台的海拔为1600m，∴ 山顶点C处的海拔约为1600＋90＝1690（m）. （第3题答案） （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 4. 如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB. 已知观测点C到旗杆的距离CE＝8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B的俯角∠ECB＝45°，则旗杆AB的高度是（　D　） A. （ ＋8 ）m B. （8＋8 ）m C. m D. m （第4题） D 1 2 3 4 5 6 7 5. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一架无人机.如图，无人机在河上方距水面高60m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12m（图中点A，B，C，P在同一平面内）.大汶河此河段的宽AB约为 　74　m（参考数据： sin 40°≈ ， sin 63.6°≈ ，tan50°≈ ，tan63.6°≈2）. 74　 （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 6.我国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图所示为示意图.已知淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E（注：图中所有点均在同一平面内）.求： （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 （1） β的大小及tanα的值. 解：（1） 由题意，得PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4m，AC＝BD＝3m， ∴ CE＝AE－AC＝4－3＝1（m），PE＝PQ－EQ＝2.6－1.6＝1（m），∠CEP＝90°.∴ CE＝PE. ∴ β＝∠PCE＝45°，tanα＝tan∠PAE＝ ＝ . （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 （2） CP的长及 sin ∠APC的值. 解：（2） ∵ CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°，∴ CP＝ ＝ ＝ （m）.如图，过点C作 CH⊥AP于点H. 在Rt△ACH中，tanα＝tan∠PAE＝ ＝ .设CH＝xm，则AH＝4xm，由勾股定理，得CH2＋AH2＝AC2.∴ x2＋（4x）2＝32，解得x＝ （负值已舍去）.∴ CH＝ m.∴ sin ∠APC＝ ＝ ＝ . （第6题） （第6题答案） 1 2 3 4 5 6 7 $