23.2第1课时 解直角三角形 课件2025-2026学年沪科版数学九年级上册

23.2　解直角三角形及其应用 第1课时　解直角三角形 第23章　解直角三角形 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， , 求这个直角三角形的其他元素. 解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, A B C 讲授新课 已知两边解直角三角形 一 典例精析 在Rt△ABC中， 已知一边及一锐角解直角三角形 二 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位). A B C b 20 c a 35° 解： 在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75° ） 练一练 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． A B a b c C 直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 归纳总结 已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，a=1，解这个直角三角形. ∟ A B C b c a 练一练 6 已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b= 1，解这个直角三角形 ∟ A B C b c a 变式1： 7 已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c= ，解这个直角三角形 ∟ A B C b c a 变式2： 8 构造直角三角形解决问题 三 例3 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC. D A B C 解：过点 A作 AD⊥BC于D. 在△ACD中，∠C=45°，AC=2， ∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= . 在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= ∴BC=CD+BD= + 图① 解：∵cos∠B= ，∴∠B=45°， 当△ABC为钝角三角形时，如图①， ∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5 ∴BC=BD-CD=12-5=7； 当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论. 例4 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求BC的长. 图② 当△ABC为锐角三角形时，如图②， BC=BD+CD=12+5=17. ∴BC的长为7或17. 解直角三角形 依据 解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系 （勾股定理） A B a b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1. 在一个直角三角形中，已知下列条件：① 两条边的长度；② 两个锐角的度数；③ 一个锐角的度数和一条边的长度.利用上述条件中的一个，能解这个直角三角形的有（　B　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　C　） A. 3 B. 3 C. 6 D. 3 （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， sin B＝ ，则BC的长是（　） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 （第3题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 若△ABC是直角三角形，AB＝2 ，∠ABC＝30°，则AC的长为 　2或 　. 2或 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 在Rt△ABC中，根据下面的条件，解直角三角形（∠C＝90°）： （1） ∠B＝60°，a＝5. 解：（1） ∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.由tanB＝ ，得b＝a·tanB＝5×tan60°＝5 .由 cos B＝ ，得c＝ ＝ ＝ ＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） a＝ －1，b＝3－ . 解：（2） 由tanB＝ ＝ ＝ ，得∠B＝60°.∴ ∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.由 cos B＝ ，得c＝ ＝ ＝ ＝2 －2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sad A，即sad A＝ .如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B，则 cos B·sad A的值为（　B　） A. 1 B. C. D. （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，D是AC上一点，若tan∠DBA＝ ，则AD的长为（　A　） A. 2 B. C. D. 1 （第7题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ ，D是AC上一点，连接BD. 若tanA＝ ，tan∠ABD＝ ，则CD的长是（　A　） A. B. 2 C. 2 D. 3 （第8题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，6），点P在y轴上，且满足∠PAB＝15°，则OP的长为 　2 或6 　. 2 或6 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高， cos B＝ ，AB＝13，BC＝21.求： （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （1） AC的长. 解：（1） ∵ 在△ABC中，AD是BC边上的高，∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，∵ cos B＝ ＝ ，AB ＝13，∴ BD＝AB· cos B＝13× ＝5.∴ CD＝BC－BD＝21－5＝16.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝12.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝20. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） ∠BAC的正弦值. 解：（2） 过点C作CH⊥AB交AB于点H. ∵ △ABC的面积＝ AB·CH＝ BC·AD，∴ 13CH＝21×12.∴ CH＝ .∴ sin ∠BAC＝ ＝ ＝ . （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图，四边形ABCD是一片水田的平面示意图，某学习小组需计算其面积，测得如下数据：∠A＝90°，∠ABD＝60°，∠CBD＝54°，AB＝200m，BC＝300m.请计算出这片水田的面积（参考数据： sin 54°≈0.809， cos 54°≈0.588，tan54°≈1.376， ≈1.732）. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：如图，过点C作CM⊥BD于点M. ∵ ∠A＝90°， ∠ABD＝60°，AB＝200m，∴ BD＝ ＝ ＝ 400（m），AD＝AB·tan60°＝200× ＝200 （m）.∴ △ABD的面积为 ×200×200 ＝20000 （m2）.∵ ∠CMB＝90°，∠CBD＝54°，BC＝300m，∴ CM＝BC· sin 54°≈300×0.809＝242.7（m）.∴ △BCD的面积约为 ×400×242.7＝48540（m2）.∴ 这片水田的面积约为20000×1.732＋48540＝83180（m2）. （第11题） （第11题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $