24.2.2 第3课时 切线长定理及三角形的内切圆（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

圆的有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系 正多边形和圆 圆 弧、弦、圆心角 新知一览 圆 点和圆的位置关系 切线长定理及三角形的内切圆 圆周角 切线的判定与性质 垂直于弦的直径 弧长和扇形面积 弧长和扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 直线与圆的位置关系 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第二十四章 圆 人教版九年级（上） 24.2.2 第 3 课时 切线长定理及三角形的内切圆 1. 直线和圆有哪些位置关系？ 2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法) 相离、相交、相切. (1) 数量关系法(证明 d = r)； (2) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 导入新课 知识点 1：切线长定理的判定 探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？ 你还有其他的画法吗？ 探究新知 总结 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长( PA 和 PB ). 说说切线与切线长有什么区别. 定义总结 思考1 图中的线段 PA 与 PB 有什么关系？ 猜想：PA = PB 如何验证我们的猜想是否正确？ 思考2 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？ 猜想：∠APO = ∠BPO 测量，翻折. 合作探究 请证明你的猜想. 证明：连接 OA、OB. ∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点. ∴ OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠OAP = ∠OBP = 90°. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△AOP≌Rt△BOP(HL). ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. 已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点. 求证：PA = PB，∠APO =∠BPO. 试用文字语言叙述你所发现的结论. 动手实践 总结 切线长定理： 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 几何语言： 尝试翻译成几何语言. ∵ PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 定义总结 思考3 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 又能得出什么新的结论? 结论：OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA，PB 是☉O 的切线， 点 A，B 是切点， ∴ PA = PB ，∠OPA =∠OPB. ∴△PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线. ∴ OP 垂直平分 AB. 合作探究 思考4 若延长 PO 交☉O 于点 C，连接 CA、CB，还能得出什么新的结论? 证明：∵ PA，PB 是☉O 的切线， 点 A，B 是切点， ∴ PA = PB ，∠OPA =∠OPB. ∴ PC = PC. ∴ △PCA≌△PCB. ∴ AC = BC. 结论：CA = CB. 你能用文字语言描述这两个新结论吗？ 1.(西宁)如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( ) A. B.2 C.2 D.3 B 链接中考 2.(天津)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°. (1) 求∠P 的大小； (2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号). 解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴ PA⊥AB. ∴∠BAP = 90°. ∵∠BAC = 30°， ∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°. 又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C， ∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形. ∴∠P = 60°. (2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°. 在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°. ∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°. ∴ △PAC 为等边三角形. ∴ PA = AC. ∴ PA = . 知识点 2：三角形的内切圆 探究二：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？ 最大化利用 里圆面积最大 里圆与三边相切 如图，已知△ABC.求作：和△ABC 的各边都相切的圆 I. 与三角形三边都相切 三个内角的平分线的交点 圆心到三边距离都相等 M N I 动手实践 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I 是△ABC 的内切圆， 点 I 是△ABC 的内心， △ABC 是☉I 的外切三角形. 定义总结 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.外心到三顶点的距离相等；2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条角平分线的交点 1.内心到三边的距离相等；2.内心在三角形内部． 请类比三角形的外心，填一填. 动手实践 例1 如图，△ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 9，BC = 14，CA = 13，求 AF、BD、CE 的长. AF = AE BF = BD CD = CE ☉O 为三角形内切圆 设未知数求解 典例精析 解： 设 AF = x ，则 AE = x . ∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x， BF = BD = AB - AF = 13 - x. 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， ∴ AF = 4 ，BD = 9 ，CE = 5 . 解得 x = 4. 解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解. 总结 切线长 原理 切线长定理 三角形的内接圆 作用 辅助线 重要结论 应用 图形的轴对称性 提供了证线段和 角相等的新方法 ①分别连接圆心和切点； ②连接两切点； ③连接圆心和圆外一点 内心的概念及性质 将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程 课后小结 基础练习 1. (随州)设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 h、r、R，则下列结论不正确的是 ( ) A. h = R + r B.R = 2r C. r = D.R = C 当堂练习 2. 如图，☉O 为△ABC 的内切圆，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，则△CDE 的周长为______. 11 3. (湖州)如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD. 若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数. 解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D， ∴ OB 平分∠ABC，OD⊥BC. ∴∠BOD = 90°-∠OBD = 70°. 4.(桂林)已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积? 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》—书中给出了计算公式--海伦公式 (其中 a，b，c 是主角形的三边长，，S 为三角形的面积)，并给出了证明.例如：在△ABC 中，a= 3，b = 4，c = 5，那么它的面积可以这样计算： ∵ a= 3，b = 4，c = 5，∴=6. ∴. 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决. 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在 △ABC 中，BC = 5，AC = 6，AB = 9. (1) 用海伦公式求△ABC 的面积； (2) 求△ABC 内切圆的半径 r. 解：(1)∵ BC = 5，AC = 6，AB = 9， (2) 更多练习见专题课件. 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $