第二十三章 旋转 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

第二十三章 旋 转 小结与复习 人教版九年级（上） 1 知识结构图 旋转及其性质 平移及其性质 轴对称及其性质 中心对称图形 中心对称 关于原点对称的点的坐标 图案设计 知识回顾 一、旋转的定义及相关概念 1. 把一个平面图形绕_______绕某一点 O 转动________，叫做图形的旋转. 一个角度 平面内 · O P′ P 2. 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的_________. 对应点 a. 旋转中心：_____. b. 旋转角：_____________. c. 旋转方向： _________. 点 O 顺时针或逆时针 ∠POP′ 二、旋转的性质 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角_____旋转角； 1. 对应点到旋转中心的距离____； 3. 旋转前、后的图形_____. O 相等 等于 全等 旋转作图的条件： (1) 有原图形； (2) 有旋转中心； (3) 有旋转方向； (4) 有旋转角 三、旋转作图 旋转作图的步骤： (1) 确定图形的关键点； (2) 作出旋转后的对应点； (3) 顺次连线即可. 1．中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转____，如果它能与另一个图形____，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 180° 四、中心对称 重合 2. 中心对称的特征 中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过 ，并且被对称中心_______． 3. 中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 对称中心 平分 4．关于原点对称的点的坐标 两点关于原点对称时，它们的对应坐标互为 ，即点 P(x，y) 关于原点的对称点为 P′( ， )． 相反数 －x －y 例1 如图，△ABO 经顺时针旋转后能与△CDO 重合，则： (1) 旋转中心是 ，旋转角度是 °； (2) 线段 BO 的对应线段是 ， 线段 AB 的对应线段是 ； (3)∠AOB 的对应角是 ， ∠ABO 的对应角是 . 点 O 90 DO CD ∠COD ∠CDO 考点一 旋转的概念 考点讲练 分析： ∠BOD = 60° ∠AOD = 45° ∠AOB = 15° 例2 (1)如图 a，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60°后得到△COD，若∠AOB = 15°，则∠AOD 的度数是 ( ) A. 15° B. 60° C. 45° D. 75° A B O D C 图 a C 旋转角 60° 考点二 旋转的性质 (2) 如图 b，4×4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，其旋转中心是( ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D N1 M1 N M P1 D P A B 图 b C B 分析：作线段 NN1 与 PP1 的 垂直平分线，交点便是旋转中心. 1. 如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，将三角形 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到三角形 COD，则旋转过程中形成的 阴影部分的面积为 _______． 练一练 2. (大连中考) 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到△A′B′C ，点 B 的对应点 B′ 在边 AC上 (不与点 A，C 重合)，则∠AA′B′ 的度数为( ) A．α B．α－45° C．45°－α D．90°－α C 考点三 旋转的作图 例3 如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB 的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A、B 的坐标分别是 A(3，2) 、B(1，3). x y O A B (1) 将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90° 后得到△A1OB1，画出旋转后的图形； (2) 画出△AOB 关于原点 O 对称的图 形△A2OB2，并写出点 A2，B2 的坐标. 解析：(1) 因为旋转角 90°，故用直角三角板及圆规可快速确定对应点的位置；(2) 先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点的坐标，再依次连接得到所要画的图形. 易错提示：旋转作图注意方向. 解：(1) 如图所示. (2) 如图所示， 点 A2 的坐标为(－3，－2)， B2 的坐标为(－1，－3). x y O A B A1 B1 A2 B2 3. 如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点(小正方形的顶点)上，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° 得到△AB1C1. 请你作出△AB1C1. 分析：作∠CAC1＝90°，且 AC1＝AC，得到 C 的对应点 C1，由同样的方法得到其余各点的对应点． 解：如图所示. 练一练 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE = BC，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90° 后得 CF，连接 EF． (1) 补充完成图形； (2) 若 EF∥CD，求证：∠BDC = 90°． 分析：(1) 根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋转角度，补全图形即可； 解：(1) 补全图形，如图所示. F (2) 由旋转的性质，得 DC = FC，∠DCF = 90°， F ∴∠DCE +∠ECF = 90°. ∵∠ACB = 90°， ∴∠DCE +∠BCD = 90°. ∴∠ECF =∠BCD. ∴△BDC≌△EFC (SAS). ∴∠BDC =∠EFC. ∵ EF∥DC， ∴∠EFC +∠DCF = 180°. ∴∠EFC = 90°. ∴∠BDC = 90°. (2) 由旋转的性质得∠DCF 为直角，由 EF 与 CD 平行，得到∠EFC 为直角，利用 SAS 得到△BDC 与△EFC 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证． 5. (教材习题变式) 把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为( ) A．30° B．90° C．120° D．180° C (1) 画旋转后的图形，要善于抓住图形特点，作出特殊点的对应点； (2) 旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角及旋转方向 (顺时针或逆时针)． 归纳总结 考点四 中心对称 例4 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称 图形的是(　　) 　　　A　　　　　 B　　　　　 C　　　　 　D D 【解析】图A 、图B 都是轴对称图形，图C 是中心对称 图形，图D 既是中心对称图形也是轴对称图形. 6.下列说法不正确的是（ ） A. 任何一个具有对称中心的四边形都是平行四边形 B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形 D. 正三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，且对称轴都不止一条. B 例5 如图，从前一个农民有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘.农民立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间池塘也同时平分.农民的两个儿子不知怎么做，你能想个办法吗？ 分析：先找到平行四边形对角线的交点 A 和池塘的圆心 B，过 A、B 两点作一条直线即为所求. A B 练一练 7. 轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分.请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分. （1） 解：如图所示. （2） 例6 若点 A (2m－1，2n + 3) 与 B (2－m，2－n) 关于原点 O 对称，则 m =_____， n =_____． －1 －5 分析： 点 A 与 B 关于原点 O 对称 2m－1 + 2－m = 0 2n + 3 + 2－n = 0 m = －1， n = －5. 8. 已知点 P (－1－2a，2a－4) 关于原点的对称点在第一象限，则整数 a 的值为 (　　) A．1 B．0 C．0 或 1 D．0 或 1 或 2 C 例8 如图所示的图案是一个轴对称图形(不考虑颜色)，直线 m 是它的一条对称轴. 已知图中圆的半径为 r，你能借助轴对称的方法求出 图中绿色部分的面积吗？ 说说你的做法. m 考点五 图形变换的简单应用 解：以直线 m 为对称轴，把 m 左边绿色部分对称到 m 的右边，那么左边绿色部分恰好填补了右边的白色部分，所以图中的绿色部分面积等于半个圆的面积，也就是 . m 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $