22.3 第1课时 几何图形的最大面积（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数 二次函数 二次函数 y = ax2的图象和性质 新知一览 二次函数与一元二次方程 二次函数 y = a(x - h)2 + k的图象和性质 二次函数 y = ax2 + bx + c的图象和性质 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积 人教版九年级（上） 2 情境导入 将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？ 知识点1： 求二次函数的最大（或最小）值 探究新知 引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m) 与小球的运动时间 t (单位：s)之间的关系式是 h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)． 小球的运动时间是多少 s 时，小球最高？ 小球运动中的最大高度是多少？ 追问1 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 小球的高度 h 与小球的运动时间 t 之间的关系. 引例： h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)． 追问2 如何判断小球的运动 时间是多少 s 时， 小球最高呢？ 画出二次函数图象. t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t − 5t 2(0≤t≤6) 追问3 根据观察，小球的最高点对应函数图象的哪个点呢？ 追问4 小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？ 引例： h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)． t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t − 5t 2(0≤t≤6) 顶点. 顶点的纵坐标. 追问5 如何求出小球的最大高度？ 故小球运动的时间是 3s 时， 小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m． t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t − 5t 2(0≤t≤6) ∵ 0＜3＜6， 想一想 思考1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 最小值 最大值 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 思考2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？ 思考3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 知识点2： 二次函数与几何图形面积的最值 例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S (m2) 随矩形一边长 l (m) 的变化而变化. 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 矩形面积 S 与一边长 l 的关系. 分析：则另一边长为__________m. 矩形菜园的面积 S =_____________________. (30 − l ) (30 − l )l = −l2 + 30l 问题 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 解：根据题意得 S = l (30 - l)， 即 S = -l2 + 30l (0＜l＜30). 因此，当 时，有 S最大值 = 也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l/m S/m2 O 变式 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. (1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 矩形面积与一边长的关系. 60 - 2x x x ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 − 2x) m. ∴ S = x(60 − 2x) = −2x2＋60x . ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ∴14≤x＜30. 60 − 2x≤32， x＞0 60 − 2x＞0 ③ 写出二次函数解析式，并化为顶点式 60 - 2x x x ∵ S = −2x2＋60x = −2(x − 15)2 + 450， ④ 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值 ∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2. (2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 60 - 2x x x 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 由 (1) 知 S = −2x2＋60x = −2(x2 − 30x) = −2(x − 15)2 + 450. ∴21≤x＜30. 60 − 2x≤18， x＞0 60 − 2x＞0 想一想：当墙长发生改变时，根据问题(1)，什么会发什么改变，什么不变？ 观察取值范围，你有什么发现？ O x y 30 21 ∵ 15＜21， x = 15 ∴ 当 21≤ x＜30 时， S 随 x 的增大而减小， 故当 x = 21 时，S 取得最大值， 此时 S最大值 = −2×(21 − 15)2 + 450 = 378 (m2). 归纳总结 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式 求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值. 链接中考 1. (河北期末) 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围； (2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? A B C D 15m 解：设 BC 的边长为 x m， 解：(1) 由题意得， (0＜x≤15). (2) ∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大， 而 0＜x≤15. ∴ 当 x = 15 时，S 有最大值， 即矩形 ABCD 的面积最大. A B C D 15m x 当堂小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 最值有时不在顶点处，要利用函数的增减性来确定 1. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度 y 米关于水珠和喷头的水平距离 x 米的函数解析式是 (0≤x≤4)，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是( ) A. 1 米 B. 2 米 C. 5 米 D. 6 米 当堂练习 B 2. 已知直角三角形的两直角边之和为 8，则该三角形 的面积的最大值是______. 8 3. 某小区要在一块空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙 (墙长 25 m)，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住．设绿化带的边长 BD 为 x m，绿化带的面积为 y m2． (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 解：∵ BD = x m， A B C D (2) 当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ ∵ 0＜x≤25， ∴ 当 x = 20 时，绿化带的面积取得最大值，最大面积为 200 m2. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $