22.2 二次函数与一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“二次函数与一元二次方程”核心内容，通过回顾一次函数求x轴交点方法导入，引导学生类比探究二次函数与方程的关系，搭建从一次函数到二次函数的知识支架。 其亮点在于结合小球飞行、投篮等实际情境设计问题链，通过表格对比Δ值与抛物线和x轴交点、方程根的关系，培养学生抽象能力和几何直观，中考链接与当堂练习助力知识巩固，帮助学生用数学思维解决问题，提升教师教学效率。

二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数 二次函数 二次函数 y = ax2 的图象和性质 新知一览 二次函数与一元二次方程 二次函数 y = a(x - h)2 + k的图象和性质 二次函数 y = ax2 + bx + c的图象和性质 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 人教版九年级（上） 2 新课导入 思考 一次函数，二次函数都是由无数个点组成，那么最重要的是哪几种点呢？ x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 -1 y = 2x - 1 与 x 轴、y 轴的交点. 一次函数 y = 2x - 1 令 y = 0 一元一次方程 2x - 1 = 0 怎么求与 x 轴的交点？ 那么二次函数呢？ 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系 h = 20t - 5t2. 考虑以下问题： 知识点1： 二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 (1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？ h = 20t - 5t2 O h/m t/s 15 1 3 故当小球飞行 1 s 或 3 s 时， 它的高度为 15 m. 解：令 15 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1，t2 = 3. 分析：① 建立平面直角坐标系 ② 小球的飞行高度能否达到 15 m → 当 h = 15 时，自变量 t 的取值. 你能结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？ (2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？ O h/m t/s 20 2 解：令 20 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 4 = 0， 解得 t1 = t2 = 2. 故当球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m. h = 20t - 5t2 解：令 20.5 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 4.1 = 0， 因为 (-4)2 - 4×4.1＜0， 所以方程无解. 即小球的飞行高度达不到 20.5 m. (3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ O h/m t/s 你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗? 20.5 h = 20t - 5t2 (4) 小球从飞出到落地要用多少时间？ O h/m t/s 令 0 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t = 0， 解得 t1 = 0，t2 = 4. 故当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m. ∴ 小球从飞出到落地要用 4 s 时间. h = 20t - 5t2 解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m， 从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程? 一般地，当 y 取确定值且 a≠0 时，二次函数为一元二次方程. 为一个常数 (确定值) 如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c (a ≠ 0)就是一个一元二次方程. 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）； 反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0，又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值． 归纳总结 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了. 知识点2： 利用二次函数深入讨论一元二次方程 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1) y = x2 - x + 1； (2) y = x2 - 6x + 9； (3) y = x2 + x - 2. 合作探究 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2-x+1 y = x2-6x+9 y = x2+x-2 0 个 1个 2 个 x2 - x + 1 = 0 无解 3 x2-6x+9=0,x1=x2=3 -2 和 1 x2+x-2=0,x1=-2,x2=1 x y O -2 2 1 3 -1 2 3 1 -3 -1 y = ax2 + bx + c y = 0 是否有解 ax2 + bx + c = 0 判断 Δ 的情况 思考1 当 a＜0 时，是否同样存在公共点？动手画一画！ 想一想：抛物线 y = ax2 + bx + c (a＞0)与 x 轴是否存在公共点取决于什么？ 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的 公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 归纳总结 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴公共点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 Δ ＞0 有一个公共点 有两个相等的实数根 Δ = 0 没有公共点 没有实数根 Δ ＜0 五点画图法 画出二次函数 y = x2 - 4x + 3 的图象 ① 确定顶点坐标 ( 2，-1 ) ② 确定与 y 轴的交点坐标及其关于对称轴的坐标 4 x y O -2 2 1 3 -1 2 3 1 -2 -1 4 ③ 确定与 x 轴的交点坐标 ④ 平滑的曲线连接. 链接中考 1. (崂山区) 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为________________. a≥-1 且 a≠0 分析：二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点， Δ = 4 + 4a≥0 a≠0 a≥-1且 a≠0 总结 若抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有交点，则 b2 - 4ac≥0. 知识点3：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 例1 利用函数图象求方程 x2 − 2x − 2 = 0 的实数根(结果保留小数点后一位). 分析：一元二次方程 x² − 2x − 2 = 0 的根就是抛物线 y = x² − 2x − 2 与 x 轴的公共点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 解：画出函数 y = x² − 2x − 2 的图象(如下图)，则方程有两个实数根，一个在 −1 与 0 之间，另一个在 2 与 3 之间. 通过取平均数的方法不断缩小根的范围. y = -0.75＜0 y = 0.062 5＞0 所以跟在 2.5 和 2.75 之间，然后重复上述步骤. 最终，根在 2.687 5 和 2.75 之间，要求精确到 0.1. 故取 x1≈2.7. 同理可得另一近似根为 x2≈-0.7. 练一练 1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为 (　　) A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5 C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1 B 解析：由图象可得该抛物线的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点 到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又 ∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1. ∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故 x1≈－2.5，x2≈0.5. Δ = b2 - 4ac 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x1，x2 x2 x1 x y O x1= x2 x y O x y O 没有实数根 当堂小结 当堂练习 1. 若一元二次方程 x2 - mx + n = 0 无实根，则抛物线 y = x2 - mx + n 图象位于( ) A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限 C. x 轴下方 D. 第二、三、四象限 A 2. 一元二次方程 3x2 + x -10 = 0 的两个根是 x1 = -2，x2 = ，那么二次函数 y = 3x2 + x - 10 与 x 轴的交点坐标是 . 可知方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 为常数) 的一个解 x1 的范围是（ ） A. 3 ＜ x1 ＜ 3.23 B. 3.23 ＜ x1 ＜ 3.24 C. 3.24 ＜ x1 ＜ 3.25 D. 3.25 ＜ x1 ＜ 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 3. 根据下列表格的对应值： 4. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有公共点，求 k 的取值范围． 解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1，是一次函数． ∵ 直线 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点，∴ k＝3 符合题意. 当 k ≠ 3 时，函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1，是二次函数． ∵ 二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有公共点， ∴ Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0，即 k≤4 且 k ≠ 3. 综上所述，k 的取值范围是 k≤4. (1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 5. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 m，与篮框中心的水平距离为 7 m，当球出手后水平距离为 4 m时到达最大高度 4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 m． O y x 4m 3m A C B 3m 4m 解：(1) 由题意可知，A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中 B 是抛物线的顶点. 设抛物线解析式为 y＝a(x－4)2＋4，将点 A 的坐标代入，可得 a＝－ ，故 y＝－ (x－4)2＋4. 当 x＝7 时， y＝－ (7－4)2＋4＝3， ∴ 点 C(7，3) 在该抛物线上． ∴ 此球一定能投中. O y x 4m 3m A C B 3m 4m (2) 此时，如果对方队员乙在甲面前 1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 m，那么他能否获得成功？ 解：将 x＝1 代入函数关系式，得 y＝3. 因为 3.1＞3， 所以盖帽拦截能获得成功． O y x 4m 3m A C B 3m 4m 27 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $