22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数 二次函数 二次函数 y = ax2 的图象和性质 新知一览 二次函数与一元二次方程 二次函数 y = a(x - h)2 + k的图象和性质 二次函数 y = ax2 + bx + c的图象和性质 第二十二章 二次函数 22.1.4 二次函数 y = ax2 + bx + c 的 图象和性质 第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式 人教版九年级（上） 2 新课导入 1. 一次函数 y = kx + b (k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？ 2. 求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 2个 2个 待定系数法 (1) 设：解析式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程(组) (4) 还原：写出解析式 探究新知 知识点1： 用一般式法求二次函数的解析式 问题 (1) 由几个点的坐标可以确定二次函数 y=ax2+bx+c？这几个点应满足什么条件？ 3个 由三点 (不在同一条直线上) 的坐标，可以确定二次函数的解析式. (2) 如果一个二次函数的图象经过 (−1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式. 故所求二次函数解析式为 y = 2x2 − 3x + 5. (2) 解：设所求二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c. 由函数图象经过 (−1，10 )，(1，4)，(2，7) 三点，得关于 a，b，c 的三元一次方程组 1.设：一般式 2.代： 坐标代入 3.解： 方程(组) 4.还原： 写出解析式 小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间成二次函数关系. 链接中考 1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm. 小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表. A 运动时间 t/s 0 1 2 3 4 运动距离 y/cm 0 9.75 19 27.75 36 运动时间 t/s 0 1 2 3 4 运动距离 y/cm 0 9.75 19 27.75 36 求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围). 解：设所求二次函数的解析式为 y = at2 + bt + c. 将 (0，0 )，(2，19)，(4，36) 三点代入解析式中，得 注意： 取点取整数点. 故所求二次函数解析式为 知识点2： 用顶点法求二次函数的解析式 例1 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的解析式. 分析：题目中有顶点坐标，则解析式设为顶点式. 1.设：顶点式 解：∵ 这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，∴ 可设其解析式为 y = a(x - 8)2 + 9. 2.代：坐标代入 由其图象经过点 (0，1)， 可得 1 = a(0 - 8)2 + 9. 3.解：方程(组) 4.还原：写出解析式 1. 已知一个二次函数有最大值 4，当 x＞5 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＜5 时，y 随 x 的增大而增大，且该函数图象经过点 (2，1)，求该函数的解析式． 解：由题意得该二次函数图象的顶点坐标为 (5，4)， 设解析式为 y = a(x − 5)2 + 4，把 (2，1) 代入，得 1 = 9a + 4， 总结：当题目中有最值、对称轴等条件时，可由此得出顶点坐标，利用顶点式求解析式. 练一练 知识点3： 交点法求二次函数的解析式 求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交点坐标？ x2 + 2x - 3 = 0 (x - 1)(x + 3) = 0 x1 = 1， x2 = -3 y = x2 + 2x - 3 y = (x - 1)(x + 3) 因式分解 因式分解 令 y = 0 x y O x1 x2 · · y = ax2 + bx + c (a≠0) 因式分解 y = a(x - x1)(x - x2) 交点式 图象与 x 轴的两个交点 例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的解析式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 -4 1 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 -4 1 分析：(-3，0)，(-1，0) 是抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴的交点. 1.设：交点式 设这个抛物线解析式为 y = a(x + 3)(x + 1). 2.代：坐标代入 再把点 (0，-3) 代入上式得 ∴ a(0 + 3)(0 + 1) = -3， 3.解：方程(组) 解得 a = -1. 4.还原：写出解析式 ∴ 二次函数的解析式是 y = -(x+3)(x+1)，即 y = -x2-4x-3. 2. 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式． 图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2. 解：∵ 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2， ∴ 图象经过另一点 (3，0). 故可设该二次函数的解析式为 y = a(x − 1)(x − 3). 将点 (0，−3)代入，得 −3 = a(0 − 1)(0 − 3)， 解得 a = −1. ∴ 该二次函数的解析式为 y = −(x − 1)(x − 3) = −x2 + 4x − 3. 练一练 知识点4(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式 例3 已知二次函数的图象上有 A(1，1)，B(3，1) 两点，且与 y 轴交于点 C (0，4)，求这个二次函数的解析式. 分析：A(1，1)，B(3，1) 两点纵坐标 相同，为 1， ∴这个二次函数可以看作与 x 轴交于 (1，0)，(3，0) 两点的二次函数 y = a(x-1)(x-3)，向上平移 1 个单位得 y = a(x-1)(x-3)+1. x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 1.设：解析式 设这个抛物线解析式为 y = a(x - 1)(x - 3) + 1. 2.代：坐标代入 再把点 (0，4) 代入上式得 ∴ a(0 - 1)(0 - 3) + 1 = 4， 3.解：方程(组) 解得 a = 1. 4.还原：写出解析式 ∴ 二次函数的解析式是 y = (x - 1)(x - 3) + 1， 即 y = x2 - 4x + 4. 还有其他的方法吗？ 练一练 3. 已知二次函数的图象经过点(-1，3)， (1，3)，(2，6)， 求这个二次函数的解析式. 解：设其解析式为 y = a(x + 1)(x - 1) + 3， 又图象经过点 (2，6)， ∴ 6 = a(2 - 1)(2 + 1) + 3， 解得 a = 1. ∴二次函数解析式为 y = (x - 1)(x + 1) + 3， 即 y = x2 + 2. 归纳总结 合适的函数解析式 坐标代入 写出解析式 解含参方程组 求二次函数解析式的方法： 思维轴 1 设 2 代 3 解 已知条件 4 还原 当堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与 x轴的两个交点 已知条件 选择适当的方法 用一般式法：y = ax2+bx+c 用顶点法：y = a(x - h)2 +k 用交点法：y = a(x -x1)(x -x2) (x1，x2为与x轴交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式 ④已知抛物线上纵坐标相同的两点 顶点法或交点法平移纵坐标 当堂练习 1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是 分析：y = ax2、y = ax2 +k、y = a(x -h)2 与 y = a(x -h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 2 1 -1 3 4 5 . 2. 若抛物线过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6，则其解析式为 . 顶点坐标是 (1，6) y = -2x2 + 4x + 4 3. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题： (1) 求抛物线的解析式； 解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c， 得 16－4b＋c ＝－3，即 c＝4b－19. ∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3， 即 b＝6. ∴ c＝5. ∴ 抛物线的解析式是 y ＝ x2＋6x＋5. x y O x = -3 A B (2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积． 解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称． ∵ 点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8， ∴ 点 C 的横坐标为－7. ∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵ 点 B 的坐标为 (0，5)， ∴ △BCD 中 CD 边上的高为 12－5＝7. ∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28. x y O x = -3 A B 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $