22.1.4 第1课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数 二次函数 二次函数 y = ax2 的图象和性质 新知一览 二次函数与一元二次方程 二次函数 y = a(x - h)2 + k的图象和性质 二次函数 y = ax2 + bx + c的图象和性质 第二十二章 二次函数 22.1.4 二次函数 y = ax2 + bx + c 的 图象和性质 第 1 课时 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 人教版九年级（上） 2 新课导入 顶点坐标 对称轴 最值 y = -2x2 y = -2x2 - 5 y = -2(x + 2)2 y = -2(x + 2)2 - 4 y = (x - 4)2 + 3 y = -x2 + 2x y = 3x2 + x - 6 (0，0) y 轴 0 (0，-5) y 轴 -5 (-2，0) 直线 x = -2 0 (-2，-4) 直线 x = -2 -4 (4，3) 直线 x = 4 3 ? ? ? ? ? ? 知识点1：将 y = ax2 + bx + c 化成 y = a(x − h)2 + k 探究新知 猜想：通过组合平移 y = ax² (a≠0) 的图像能否得到 y = ax² + bx + c (a≠0) 的图像？ y = ax² 通过上下左右平移 y = a(x−h)2+k y = ax²+bx+c 是否有关系？ 回顾本章第一节问题 2，得到两年后的产量： y = 20(1 + x)2 = 20x2 + 40x + 20. 相互转化 (1) x2 − 12x + 36 = (x____)2； 填一填 (2) x2 − 12x = (x____)2 −____. − 6 36 − 6 合作探究 问题 怎样将 化成 y = a(x − h)2 + k 的形式？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 提示：配方后的解析式通常称为顶点式. 我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x - h)2 + k？ y = ax² + bx + c 归纳总结 因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 对称轴是直线 ， . 1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即 . 二次函数 y = ax2 + bx + c 的顶点式 y = ax2 + bx + c = 练一练 1. 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式 y = a(x - h)2 + k 的形式，并指出其顶点坐标． (1) y = x2 - 2x + 1； (2) y = 2x2 - 4x + 6． 解：(1) y = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2，顶点坐标为 (1，0). (2) y = 2x2 − 4x + 6 = 2(x −1)2 + 4，顶点坐标为 (1，4). 知识点2：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 我们已经知道二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来研究 的图象和性质？ 将 配成顶点式，得 探究1：从函数解析式研究图象和性质. 答：开口向上，对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是 (6，3). 答：平移方法1： 先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到； 平移方法2： 先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到. (1) 你能说出 的开口方向，对称轴及 顶点坐标吗？ (2) 抛物线 可以看作是由 怎样 平移得到的？ 探究2：用“描点法”法作图研究图象性质 … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 解：先利用图形的对称性列表； 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象 如右图. O 5 10 x y 5 10 x = 6 当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. O 问题 结合二次函数 的图象，说出其增减性. 如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大； 当x＞ 时，y 随 x 的增大而减小. 如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大. (1) (2) x y O x y O 归纳总结 典例精析 例1 已知二次函数 y＝x2﹣6x + 5． (1) 将 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式； (2) 求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (3) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3) ∵ 抛物线的开口向上，对称轴是 x＝3， ∴ 当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小． 解：(1) y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4. (2) 二次函数的图象的对称轴是 x＝3，顶点坐标是 (3，-4). 知识点3：二次函数的图象与系数的关系 想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用. 开口方向 一般研究哪几种性质？ 顶点坐标 对称轴 增减性 a 决定 a，b 共同决定 开口方向，对称轴 a，b 共同决定 c 决定什么？ 合作探究 x y O 问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___0 b1 ___0 c1 ___0 a2 ___0 b2 ___0 c2 ___0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ x = 0 时 y = c. y2 = a2x2 + b2x + c2 y1=a1x2+b1x+c1 x y O a3 ___ 0 b3 ___ 0 c3 ___ 0 a4 ___ 0 b4 ___ 0 c4 ___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ x = 0时 y = c. y4 = a4x2 + b4x + c4 y3 = a3x2 + b3x + c3 链接中考 1. (浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1，下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c； ③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b； ④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0 的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5. 其中正确的结论的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　 　C．3　　　D．4 O x = -1 1 x y 【解析】解：①：由图象可知：a＜0，c＞0， ， ∴ b = 2a＜0，∴ abc＞0，故 ① 错误； ②：当 x = 1 时，y = a + b + c = a + 2a + c = 3a + c＜0， ∴3a＜-c，故 ② 正确； ③：∵ x = -1 时，y 有最大值， ∴ a - b + c≥am2 + bm + c ( m 为任意实数)， 即 a - b≥am2 + bm，即 a - bm≥am2 + b. 故 ③ 错误； O x = -1 1 x y ④：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 图象经过点 (-3，-2)，方程 ax2＋bx＋c＋2 = 0 的两根 为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )， ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的一个交点 为 (-3，-2). ∵抛物线的对称轴为直线 x＝-1， ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的 另一个交点为 (1，-2)，即 x1 = 1，x2 = -3. ∴2x1－x2 = 2－(-3) = 5，故 ④ 正确． 所以正确的是 ②④. O x = -1 1 x y 字母符号 图象的特征 a＞0 开口___________ a＜0 开口___________ b = 0 对称轴为_____轴 a、b 同号(ab＞0) 对称轴在 y 轴的____侧 a、b 异号(ab＜0) 对称轴在 y 轴的____侧 c = 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴交于_____半轴 c ＜ 0 与 y 轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 二次函数图象与 a、b、c 的关系 归纳总结 当堂小结 顶点： 对称轴： y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 当堂练习 1. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中 x、y 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A. y 轴 B. 直线 x = C. 直线 x = 2 D. 直线 x = 则该二次函数图象的对称轴为( ) D O y x –1 –2 3 2. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)的图象如图所示，则下列结论： (1) a、b 同号； (2) 当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相等； (3) 4a + b = 0； (4) 当 y = -2 时，x 的值只能取 0. 其中正确的是 . x = 1 （2） 3. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13. (1) 当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ (2) 当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3) 将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y = 2x2 − 12x + 13 = 2(x − 3)2 − 5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x = 3. (1) 当 x = 3 时，y 有最小值，最小值为 −5. (2) 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小. (3) 新抛物线的解析式为 y = 2(x − 5)2 − 3． 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $